ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение производной функции } f \text{ в точке } x_0:
\)
1) \( f(x) = \frac{1}{6} \ln (-12x), \quad x_0 = -\frac{1}{6}; \)
2) \( f(x) = \frac{1}{2} x^2 — \ln x^2, \quad x_0 = 4; \)
3) \( f(x) = \log_5 (x^2 + 3x — 2), \quad x_0 = -4; \)
4) \( f(x) = \ln \sin\left(\frac{x}{2}\right), \quad x_0 = \frac{\pi}{2}. \)

1) \(f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x), x_0 = -\frac{1}{6}\)
\(f'(x) = \frac{1}{6} \cdot (-12) \cdot \frac{1}{1}\)
Ответ: \(-1\).

2) \(f(x) = \frac{1}{2} x^2 — \ln x^2, x_0 = 4\)
\(f'(x) = x — \frac{2}{x}\)
\(f'(4) = 4 — \frac{2}{4} = 4 — 0,5 = 3,5\)
Ответ: \(3,5\).

3) \(f(x) = \log_5(x^2 + 3x — 2), x_0 = -4\)
\(f'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x — 2} \cdot \frac{1}{\ln 5}\)
\(f'(-4) = \frac{2 \cdot (-4) + 3}{16 — 12 — 2} \cdot \frac{1}{\ln 5} = \frac{-5}{2\ln 5}\)
Ответ: \(\frac{-5}{2\ln 5}\).

4) \(f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}, x_0 = \frac{\pi}{2}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2}\)
\(f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Задача 1
Дана функция \(f(x) = \frac{1}{6} \ln(-12x)\) и точка \(x_0 = -\frac{1}{6}\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = \frac{1}{6} \cdot (-12) \cdot \frac{1}{-12x} = \frac{1}{x}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -\frac{1}{6}\):
\(f'(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -1\)

Ответ: \(f'(-\frac{1}{6}) = -1\).

Задача 2
Дана функция \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 — \ln x^2\) и точка \(x_0 = 4\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = x — \frac{2}{x}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = 4\):
\(f'(4) = 4 — \frac{2}{4} = 4 — 0,5 = 3,5\)

Ответ: \(f'(4) = 3,5\).

Задача 3
Дана функция \(f(x) = \log_5(x^2 + 3x — 2)\) и точка \(x_0 = -4\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = \frac{2x + 3}{x^2 + 3x — 2} \cdot \frac{1}{\ln 5}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -4\):
\(f'(-4) = \frac{2 \cdot (-4) + 3}{16 — 12 — 2} \cdot \frac{1}{\ln 5} = \frac{-5}{2\ln 5}\)

Ответ: \(f'(-4) = \frac{-5}{2\ln 5}\).

Задача 4
Дана функция \(f(x) = \ln \sin \frac{x}{2}\) и точка \(x_0 = \frac{\pi}{2}\). Требуется найти значение производной функции \(f'(x)\) в точке \(x_0\).

Решение:
1. Найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2}\)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\):
\(f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\).