ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 8.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \( f \) в точке с абсциссой \( x_0 \):

1) \( f(x) = e^{2x + 1}, \quad x_0 = -1; \)

2) \( f(x) = x — \ln x, \quad x_0 = 3. \)

Вычислить значение производной функции \(f(x)\) в данной точке \(x_0\):

1) \(f(x) = e^{2x+1}, x_0 = -1\)
\(f'(x) = 2 \cdot e^{2x+1}\)
\(f'(-1) = 2 \cdot e^{-2+1} = \frac{2}{e}\)
Ответ: \(\frac{2}{e}\).

2) \(f(x) = x — \ln(x), x_0 = 3\)
\(f'(x) = 1 — \frac{1}{x}\)
\(f'(3) = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

Вычислим значение производной функции \( f(x) \) в данной точке \( x_0 \):

1) Для функции \( f(x) = e^{2x+1} \) и точки \( x_0 = -1 \):

Сначала найдем производную функции:

\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x+1}) = 2e^{2x+1}
\)

Теперь подставим \( x = -1 \) в производную:

\(
f'(-1) = 2e^{2(-1)+1} = 2e^{-2+1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}
\)

Ответ: \( \frac{2}{e} \).

2) Для функции \( f(x) = x — \ln(x) \) и точки \( x_0 = 3 \):

Сначала найдем производную функции:

\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x — \ln(x)) = 1 — \frac{1}{x}
\)

Теперь подставим \( x = 3 \) в производную:

\(
f'(3) = 1 — \frac{1}{3} = \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\)

Ответ: \( \frac{2}{3} \).