ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Определите, является ли функция } F \text{ первообразной функции } f:
\)

1. \( F(x) = 3x^2 + x — 2, \quad f(x) = 6x + 1; \)
2. \( F(x) = x^{-4}, \quad f(x) = -4x^{-5} \text{ на промежутке } (0; +\infty); \)
3. \( F(x) = \sin(x) + 3, \quad f(x) = \cos(x) + 3; \)
4. \( F(x) = \cos(2x), \quad f(x) = -\sin(2x); \)
5. \( F(x) = \sqrt{2x + 1}, \quad f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \text{ на промежутке } \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right); \)
6. \( F(x) = 5^x, \quad f(x) = 5^x \ln 5. \)

Определить, является ли функция \( F \) первообразной данной функции \( f \):

1) \( F(x) = 3x^2 + x — 2, \, f(x) = 6x + 1; \)
\(
F'(x) = 3 \cdot 2x + 1 = 6x + 1 = f(x);
\)
Ответ: да.

2) \( F(x) = x^{-4}, \, f(x) = -4x^{-5}, \, (0; +\infty); \)
\(
F'(x) = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = f(x);
\)
Ответ: да.

3) \( F(x) = \sin x + 3, \, f(x) = \cos x + 3; \)
\(
F'(x) = -\cos x \neq f(x);
\)
Ответ: нет.

4) \( F(x) = \cos 2x, \, f(x) = -\sin 2x; \)
\(
F'(x) = -2\sin 2x \neq f(x);
\)
Ответ: нет.

5) \( F(x) = \sqrt{2x + 1}, \, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}, \, \left(-\frac{1}{2}; +\infty\right); \)
\(
F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = f(x);
\)
Ответ: да.

6) \( F(x) = 5^x, \, f(x) = 5^x \ln 5; \)
\(
F'(x) = 5^x \ln 5 = f(x);
\)
Ответ: да.

Давайте подробнее разберем каждую из функций и их производные, чтобы определить, является ли функция \( F \) первообразной функции \( f \).

1) Для \( F(x) = 3x^2 + x — 2 \) и \( f(x) = 6x + 1 \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + x — 2) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 1 = 6x + 1 = f(x).
\)
Ответ: да.

2) Для \( F(x) = x^{-4} \) и \( f(x) = -4x^{-5} \) на промежутке \( (0; +\infty) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-4}) = -4x^{-4-1} = -4x^{-5} = f(x).
\)
Ответ: да.

3) Для \( F(x) = \sin x + 3 \) и \( f(x) = \cos x + 3 \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + 3) = \cos x \neq f(x).
\)
Ответ: нет.

4) Для \( F(x) = \cos(2x) \) и \( f(x) = -\sin(2x) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot 2 \neq f(x).
\)
Ответ: нет.

5) Для \( F(x) = \sqrt{2x + 1} \) и \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \) на промежутке \( (-\frac{1}{2}; +\infty) \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot (2) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = f(x).
\)
Ответ: да.

6) Для \( F(x) = 5^x \) и \( f(x) = 5^x \ln 5 \):
\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(5^x) = 5^x \ln 5 = f(x).
\)
Ответ: да.

Таким образом, из приведенных примеров функции \( F \) являются первообразными для функций \( f \) в случаях 1, 2, 5 и 6, а в случаях 3 и 4 — не являются.