ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите первообразную \( F \) для функции \( f \) на промежутке \( I \), которая принимает данное значение в указанной точке:

1) \( f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad I = (0; +\infty), \quad F\left(\frac{1}{3}\right) = -9; \)

2) \( f(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}, \quad I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right), \quad F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}; \)

3) \( f(x) = \frac{1}{x}, \quad I = (-\infty; 0), \quad F(-e^3) = 7; \)

4) \( f(x) = \frac{1}{x^4}, \quad I = (-\infty; 0), \quad F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3. \)

1) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\);
\(
F(x) = x^{-1} : (-1) = -\frac{1}{x} + C;
\)
\(
F\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{3}} + C = -9;
\)
\(
-3 + C = -9;
\)
\(
C = -6;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\frac{1}{x} — 6.
\)

2) \(f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}\), \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\), \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\);
\(
F(x) = \tan x + C;
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = 3\sqrt{3};
\)
\(
\sqrt{3} + C = 3\sqrt{3};
\)
\(
C = 2\sqrt{3};
\)
Ответ:
\(
F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}.
\)

3) \(f(x) = \frac{1}{x}\), \((-\infty; 0)\), \(F(-e^3) = 7\);
\(
F(x) = \ln|x| = \ln(-x) + C;
\)
\(
F(-e^3) = \ln e^3 + C = 7;
\)
\(
3 + C = 7;
\)
\(
C = 4;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \ln(-x) + 4.
\)

4) \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), \((-\infty; 0)\), \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\);
\(
F(x) = x^{-3} : (-3) = -\frac{1}{3x^3} + C;
\)
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + C = 3;
\)
\(
\frac{1}{3} \cdot -\frac{1}{8} + C = 3;
\)
\(
C = \frac{1}{3};
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}.
\)

1. Найти первообразную для \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), область определения \((0; +\infty)\), условие \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\).

Запишем функцию \(f(x)\):
\(
f(x) = \frac{1}{x^2}.
\)

Первообразная функции вычисляется как интеграл:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int x^{-2} dx.
\)

Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1.
\)

Для \(x^{-2}\) получаем:
\(
F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Теперь воспользуемся дополнительным условием \(F\left(\frac{1}{3}\right) = -9\). Подставляем \(x = \frac{1}{3}\) в выражение для \(F(x)\):
\(
F\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{\frac{1}{3}} + C = -3 + C.
\)

Согласно условию задачи:
\(
F\left(\frac{1}{3}\right) = -9.
\)

Приравниваем:
\(
-3 + C = -9.
\)

Находим значение \(C\):
\(
C = -9 + 3 = -6.
\)

Итак, окончательная формула первообразной:
\(
F(x) = -\frac{1}{x} — 6.
\)

2. Найти первообразную для \(f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}\), область определения \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\), условие \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\).

Запишем функцию \(f(x)\):
\(
f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}.
\)

Известно, что \(\frac{1}{\cos^2 x}\) — это производная функции \(\tan x\):
\(
\frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}.
\)

Следовательно, первообразная:
\(
F(x) = \tan x + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Теперь воспользуемся дополнительным условием \(F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\). Подставляем \(x = \frac{\pi}{3}\) в выражение для \(F(x)\):
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) + C.
\)

Известно, что \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\). Тогда:
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} + C.
\)

Согласно условию задачи:
\(
F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}.
\)

Приравниваем:
\(
\sqrt{3} + C = 3\sqrt{3}.
\)

Находим значение \(C\):
\(
C = 3\sqrt{3} — \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.
\)

Итак, окончательная формула первообразной:
\(
F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}.
\)

3. Найти первообразную для \(f(x) = \frac{1}{x}\), область определения \((-\infty; 0)\), условие \(F(-e^3) = 7\).

Запишем функцию \(f(x)\):
\(
f(x) = \frac{1}{x}.
\)

Первообразная функции \(\frac{1}{x}\) вычисляется как:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{x} dx.
\)

В области определения \((-\infty; 0)\) переменная \(x\) отрицательна, поэтому вместо \(\ln|x|\) используем \(\ln(-x)\):
\(
F(x) = \ln(-x) + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Теперь воспользуемся дополнительным условием \(F(-e^3) = 7\). Подставляем \(x = -e^3\) в выражение для \(F(x)\):
\(
F(-e^3) = \ln(-(-e^3)) + C = \ln(e^3) + C.
\)

Известно, что \(\ln(e^3) = 3\). Тогда:
\(
F(-e^3) = 3 + C.
\)

Согласно условию задачи:
\(
F(-e^3) = 7.
\)

Приравниваем:
\(
3 + C = 7.
\)

Находим значение \(C\):
\(
C = 7 — 3 = 4.
\)

Итак, окончательная формула первообразной:
\(
F(x) = \ln(-x) + 4.
\)

4. Найти первообразную для \(f(x) = \frac{1}{x^4}\), область определения \((-\infty; 0)\), условие \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\).

Запишем функцию \(f(x)\):
\(
f(x) = \frac{1}{x^4}.
\)

Первообразная функции вычисляется как интеграл:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int x^{-4} dx.
\)

Применяем правило интегрирования степенной функции:
\(
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1.
\)

Для \(x^{-4}\) получаем:
\(
F(x) = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3} + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Теперь воспользуемся дополнительным условием \(F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\). Подставляем \(x = -\frac{1}{2}\) в выражение для \(F(x)\):
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + C.
\)

Вычисляем куб числа \(-\frac{1}{2}\):
\(
\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}.
\)

Подставляем:
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) + C = \frac{1}{24} + C.
\)

Согласно условию задачи:
\(
F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3.
\)

Приравниваем:
\(
\frac{8}{3} + C = 3.
\)

Находим значение \(C\):
\(
C = 3 — \frac{1}{24} = \frac{72}{24} — \frac{1}{24} = \frac{71}{24}.
\)

Итак, окончательная формула первообразной:
\(
F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}.
\)

Итоговые ответы:

1. \(F(x) = -\frac{1}{x} — 6.\)
2. \(F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}.\)
3. \(F(x) = \ln(-x) + 4.\)
4. \(F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}.\)