ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} \) на промежутке \( I = (0; \pi) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \).

2. Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) на промежутке \( I = (0; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(16) = 10 \).

3. Для функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) на промежутке \( I = (0; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{1}{e}\right) = -2 \).

4. Для функции \( f(x) = 2^x \) на промежутке \( I = (-\infty; +\infty) \) найдите первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(5) = 1 \).

1) \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}\), \((0; \pi)\), \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0\):
\(
F(x) = -\cot x + C;
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cot\frac{\pi}{4} + C = 0;
\)
\(
-1 + C = 0;
\)
\(
C = 1;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\cot x + 1.
\)

2) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\), \((0; +\infty)\), \(F(16) = 10\):
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x} + C;
\)
\(
F(16) = 2\sqrt{16} + C = 10;
\)
\(
2 \cdot 4 + C = 10;
\)
\(
C = 2;
\)
Ответ:
\(
F(x) = 2\sqrt{x} + 2.
\)

3) \(f(x) = \frac{1}{x}\), \((0; +\infty)\), \(F\left(\frac{1}{e}\right) = -2\):
\(
F(x) = \ln|x| = \ln x + C;
\)
\(
F\left(\frac{1}{e}\right) = \ln\frac{1}{e} + C = -2;
\)
\(
\ln e^{-1} + C = -2;
\)
\(
-1 + C = -2;
\)
\(
C = -1;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \ln x — 1.
\)

4) \(f(x) = 2^x\), \((-\infty; +\infty)\), \(F(5) = 1\):
\(
F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C;
\)
\(
F(5) = \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1;
\)
\(
\frac{32}{\ln 2} + C = 1;
\)
\(
C = 1 — \frac{32}{\ln 2};
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{\ln 2 — 32}{\ln 2}.
\)

1) Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} \) на промежутке \( (0; \pi) \) необходимо найти первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 \).

Начнём с нахождения первообразной:
\(
F(x) = -\cot x + C.
\)
Теперь подставим \( x = \frac{\pi}{4} \):
\(
F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cot\frac{\pi}{4} + C = 0.
\)
Зная, что \( \cot\frac{\pi}{4} = 1 \), получаем:
\(
-1 + C = 0.
\)
Следовательно, \( C = 1 \).

Таким образом, ответ будет:
\(
F(x) = -\cot x + 1.
\)

2) Для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) на промежутке \( (0; +\infty) \) необходимо найти первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(16) = 10 \).

Найдём первообразную:
\(
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2\sqrt{x} + C.
\)
Теперь подставим \( x = 16 \):
\(
F(16) = 2\sqrt{16} + C = 10.
\)
Так как \( \sqrt{16} = 4 \), получаем:
\(
2 \cdot 4 + C = 10.
\)
Это даёт нам уравнение:
\(
8 + C = 10,
\)
откуда следует, что \( C = 2 \).

Таким образом, ответ будет:
\(
F(x) = 2\sqrt{x} + 2.
\)

3) Для функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) на промежутке \( (0; +\infty) \) необходимо найти первообразную \( F \), которая принимает значение \( F\left(\frac{1}{e}\right) = -2 \).

Найдём первообразную:
\(
F(x) = \ln|x| = \ln x + C.
\)
Теперь подставим \( x = \frac{1}{e} \):
\(
F\left(\frac{1}{e}\right) = \ln\frac{1}{e} + C = -2.
\)
Используя свойство логарифмов, получаем:
\(
\ln e^{-1} + C = -2.
\)
Так как \( \ln e^{-1} = -1 \), у нас есть:
\(
-1 + C = -2.
\)
Следовательно, \( C = -1 \).

Таким образом, ответ будет:
\(
F(x) = \ln x — 1.
\)

4) Для функции \( f(x) = 2^x \) на промежутке \( (-\infty; +\infty) \) необходимо найти первообразную \( F \), которая принимает значение \( F(5) = 1 \).

Найдём первообразную:
\(
F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C.
\)
Теперь подставим \( x = 5 \):
\(
F(5) = \frac{2^5}{\ln 2} + C = 1.
\)
Поскольку \( 2^5 = 32 \), получаем:
\(
\frac{32}{\ln 2} + C = 1.
\)
Таким образом, мы можем выразить \( C \):
\(
C = 1 — \frac{32}{\ln 2}.
\)

Таким образом, ответ будет:
\(
F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{\ln 2 — 32}{\ln 2}.
\)