ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите две первообразные функции \( f(x) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) — \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \), расстояние между соответствующими точками (т.е. точками с равными абсциссами) которых равно 2.

Найти первообразную:
\(
f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2}; \quad f(x) = -\cos x; \quad F(x) = -\sin x + C;
\)

Расстояние между соответствующими точками первообразных равно двум:
\(
F_1(x) — F_2(x) = -\sin x + C_1 + \sin x — C_2;
\)
\(
F_1(x) = F_2(x) = C_1 — C_2 = 2;
\)
\(
C_1 = C_2 + 2;
\)

Ответ:
\(
F_1(x) = -\sin x + 3; \quad F_2(x) = -\sin x + 1.
\)

Найдем первообразную для функции:

\(
f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} — \cos^2 \frac{x}{2}.
\)

Используя тригонометрические тождества, можно выразить \( f(x) \) как:

\(
f(x) = -\cos x.
\)

Теперь найдем первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int -\cos x \, dx = -\sin x + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа.

Теперь рассмотрим расстояние между соответствующими точками первообразных. Обозначим две первообразные как \( F_1(x) \) и \( F_2(x) \):

\(
F_1(x) = -\sin x + C_1,
\)
\(
F_2(x) = -\sin x + C_2.
\)

Расстояние между соответствующими точками первообразных равно двум:

\(
F_1(x) — F_2(x) = (-\sin x + C_1) — (-\sin x + C_2) = C_1 — C_2.
\)

Условие задачи требует, чтобы это расстояние было равно 2:

\(
C_1 — C_2 = 2.
\)

Таким образом, можно выразить одну константу через другую:

\(
C_1 = C_2 + 2.
\)

Теперь подставим значения констант в первообразные. Если примем, например, \( C_2 = 1 \), то получим:

\(
C_1 = 1 + 2 = 3.
\)

Следовательно, первообразные будут иметь вид:

\(
F_1(x) = -\sin x + 3,
\)
\(
F_2(x) = -\sin x + 1.
\)

Таким образом, ответ будет следующим:

\(
F_1(x) = -\sin x + 3; \quad F_2(x) = -\sin x + 1.
\)