ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функции \( F_1(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \) и \( F_2(x) = -\sin^2\left(x — \frac{\pi}{4}\right) \) являются первообразными функции \( f(x) = \cos(2x) \). При каком значении \( C \) верно равенство \( F_1(x) = F_2(x) + C \)?

Дана функция и первообразные:
\(
F_1(x) = \frac{1}{2} \sin 2x; \quad F_2(x) = -\sin^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right); \quad f(x) = \cos 2x;
\)

1) Первая первообразная:
\(
F’_1(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = \cos 2x = f(x);
\)

2) Вторая первообразная:
\(
F’_2(x) = -2 \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right);
\)
\(
F’_2(x) = -\sin \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right);
\)
\(
F’_2(x) = \cos 2x = f(x);
\)

3) Выполняется равенство:
\(
F_1(x) = F_2(x) + C;
\)
\(
F_1(0) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0;
\)
\(
F_2(0) = -\sin^2 \left( 0 — \frac{\pi}{4} \right) = -\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = -\frac{1}{2};
\)
\(
F_1(0) = F_2(0) + C, \quad C = \frac{1}{2};
\)

Ответ:
\(
C = \frac{1}{2}.
\)

Дана функция и первообразные:

\(
F_1(x) = \frac{1}{2} \sin 2x; \quad F_2(x) = -\sin^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right); \quad f(x) = \cos 2x;
\)

1) Первая первообразная:

\(
F’_1(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = \cos 2x = f(x);
\)

2) Вторая первообразная:

Для нахождения производной второй первообразной воспользуемся правилом произведения:

\(
F’_2(x) = -2 \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right);
\)

Применим тригонометрическую идентичность для синуса двойного угла:

\(
F’_2(x) = -\sin \left( 2\left( x — \frac{\pi}{4} \right) \right) = -\sin \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right).
\)

Используя свойство синуса, получаем:

\(
F’_2(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = \cos 2x = f(x);
\)

Таким образом, обе функции \( F_1(x) \) и \( F_2(x) \) являются первообразными функции \( f(x) = \cos 2x \).

3) Выполняется равенство:

\(
F_1(x) = F_2(x) + C;
\)

Для нахождения константы \( C \), подставим \( x = 0 \):

\(
F_1(0) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0;
\)

Теперь найдем значение второй первообразной в точке \( x = 0 \):

\(
F_2(0) = -\sin^2 \left( 0 — \frac{\pi}{4} \right) = -\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = -\frac{1}{2};
\)

Теперь подставим полученные значения в равенство:

\(
F_1(0) = F_2(0) + C.
\)

Подставив значения, получаем:

\(
0 = -\frac{1}{2} + C.
\)

Отсюда находим \( C \):

\(
C = \frac{1}{2}.
\)

Ответ:

\(
C = \frac{1}{2}.
\)