ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функции \( F_1(x) = \sin^2(x) \) и \( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) \) являются первообразными функции \( f(x) = \sin(2x) \). При каком значении \( C \) верно равенство \( F_2(x) = F_1(x) + C \)?

Дана функция и первообразные:
— \( F_1(x) = \sin^2 x \)
— \( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \)
— \( f(x) = \sin 2x \)

1) Первая первообразная:
\( F’_1(x) = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x = f(x) \)

2) Вторая первообразная:
\( F’_2(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \)
\( F’_2(x) = \sin 2x = f(x) \)

3) Выполняется равенство:
\( F_2(x) = F_1(x) + C; \)
\( F_1(0) = \sin^2 0 = 0^2 = 0; \)
\( F_2(0) = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) = -\frac{1}{2}; \)
\( F_2(0) = F_1(0) + C, \quad C = -\frac{1}{2}; \)

Ответ:
\( C = -\frac{1}{2} \)

Дана функция и первообразные:
— \( F_1(x) = \sin^2 x \),
— \( F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \),
— \( f(x) = \sin 2x \).

1) Первая первообразная:
Рассмотрим производную функции \( F_1(x) \):
\(
F’_1(x) = \frac{d}{dx} \sin^2 x = 2 \sin x \cdot \cos x.
\)
Используя тригонометрическое тождество \( 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x \), получаем:
\(
F’_1(x) = \sin 2x.
\)
Таким образом, производная функции \( F_1(x) \) совпадает с заданной функцией \( f(x) \):
\(
F’_1(x) = f(x).
\)

2) Вторая первообразная:
Рассмотрим производную функции \( F_2(x) \):
\(
F’_2(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x).
\)
Упростим выражение:
\(
F’_2(x) = \sin 2x.
\)
Таким образом, производная функции \( F_2(x) \) также совпадает с заданной функцией \( f(x) \):
\(
F’_2(x) = f(x).
\)

3) Выполняется равенство:
Для проверки равенства \( F_2(x) = F_1(x) + C \), найдем значения \( F_1(0) \) и \( F_2(0) \):
\(
F_1(0) = \sin^2 0 = 0^2 = 0,
\)
\(
F_2(0) = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) = -\frac{1}{2} \cos 0 = -\frac{1}{2}.
\)
Подставим в равенство \( F_2(0) = F_1(0) + C \):
\(
-\frac{1}{2} = 0 + C.
\)
Отсюда находим значение \( C \):
\(
C = -\frac{1}{2}.
\)

Ответ:
\(
C = -\frac{1}{2}.
\)