ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите

\(
\int x^3 \sin(x^4) \, dx
\)

Найти неопределенный интеграл:

\(
\int x^3 \sin x^4 \, dx = -\frac{1}{4} \cos x^4 + C;
\)

Проверка:
\(
(-\cos x^4 + C)’ = -\frac{1}{4} \cdot 4x^3 \cdot (-\sin x^4) = x^3 \sin x^4;
\)

Ответ:
\(
-\frac{1}{4} \cos x^4 + C.
\)

Найти неопределенный интеграл:

\(
\int x^3 \sin x^4 \, dx
\)

Для решения данного интеграла воспользуемся методом подстановки. Пусть:

\(
u = x^4
\)

Тогда производная \(u\) по \(x\) будет равна:

\(
\frac{du}{dx} = 4x^3 — du = 4x^3 \, dx — dx = \frac{du}{4x^3}
\)

Теперь подставим \(u\) в интеграл:

\(
\int x^3 \sin(x^4) \, dx = \int x^3 \sin(u) \cdot \frac{du}{4x^3}
\)

Сократив \(x^3\), получаем:

\(
= \frac{1}{4} \int \sin(u) \, du
\)

Интеграл от \(\sin(u)\) равен:

\(
\int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C
\)

Подставим обратно \(u = x^4\):

\(
= -\frac{1}{4} \cos(x^4) + C
\)

Таким образом, мы получаем:

\(
\int x^3 \sin x^4 \, dx = -\frac{1}{4} \cos x^4 + C
\)

Теперь проверим полученный результат. Найдем производную от результата:

\(
\left(-\frac{1}{4} \cos(x^4) + C\right)’
\)

Используя правило производной сложной функции, получаем:

\(
= -\frac{1}{4} \cdot (-\sin(x^4)) \cdot (4x^3) = x^3 \sin(x^4)
\)

Таким образом, проверка показала, что производная полученного интеграла равна исходной функции.

Ответ:

\(
-\frac{1}{4} \cos x^4 + C
\)