ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите

\(
\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx
\)

Найти неопределенный интеграл:

\(
\int e^{\sin x} \cos x \, dx = e^{\sin x} + C;
\)

Проверка:
\(
(e^{\sin x} + C)’ = \cos x \cdot e^{\sin x};
\)

Ответ:
\(
e^{\sin x} + C.
\)

Найти неопределенный интеграл:

\(
\int e^{\sin x} \cos x \, dx
\)

Для решения этого интеграла воспользуемся методом подстановки. Пусть

\(
u = \sin x.
\)

Тогда производная \(u\) будет равна

\(
du = \cos x \, dx.
\)

Теперь мы можем переписать интеграл в терминах \(u\):

\(
\int e^{\sin x} \cos x \, dx = \int e^u \, du.
\)

Интеграл \( \int e^u \, du \) равен

\(
e^u + C.
\)

Теперь подставим обратно выражение для \(u\):

\(
e^u + C = e^{\sin x} + C.
\)

Таким образом, мы получили:

\(
\int e^{\sin x} \cos x \, dx = e^{\sin x} + C.
\)

Проверка:

Для проверки найдем производную от полученного результата:

\(
(e^{\sin x} + C)’ = \frac{d}{dx}(e^{\sin x}) + 0.
\)

Используя правило цепочки, получаем:

\(
\frac{d}{dx}(e^{\sin x}) = e^{\sin x} \cdot \cos x.
\)

Таким образом, получаем:

\(
(e^{\sin x} + C)’ = \cos x \cdot e^{\sin x}.
\)

Ответ:

Итак, окончательный ответ на интеграл:

\(
e^{\sin x} + C.
\)