ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определённая на R нечётная функция имеет первообразную. Докажите, что эта первообразная является чётной функцией.

Дана нечётная функция \( f(x) \), \( D(x) = \mathbb{R} \):

Имеет первообразную:
\(
F'(x) = f(x);
\)
\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x);
\)
\(
F'(-x) = -f(-x) = f(x);
\)

Следовательно:
\(
F'(x) = F'(-x);
\)
\(
F(x) = F(-x) + C.
\)

Подставим значение:
\(
F(0) = F(-0) + C;
\)
\(
F(0) = F(0) + C;
\)

Таким образом:
\(
F(x) = F(-x)
\)

Что и требовалось доказать.

Дана нечётная функция \( f(x) \), область определения \( D(x) = \mathbb{R} \).

Имеется первообразная \( F(x) \), такая что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Рассмотрим производную первообразной в точке \(-x\):
\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x).
\)
Так как производная \((-x)’\) равна \(-1\), то:
\(
F'(-x) = -f(-x).
\)

Поскольку функция \( f(x) \) является нечётной, выполняется равенство:
\(
f(-x) = -f(x).
\)

Подставим это равенство:
\(
F'(-x) = -(-f(x)) = f(x).
\)

Следовательно, производная первообразной в точке \( x \) равна производной первообразной в точке \(-x\):
\(
F'(x) = F'(-x).
\)

Теперь рассмотрим связь первообразной \( F(x) \) с её значением в точке \(-x\):
\(
F(x) = F(-x) + C,
\)
где \( C \) — произвольная константа.

Подставим значение \( x = 0 \):
\(
F(0) = F(-0) + C.
\)

Так как \( -0 = 0 \), то:
\(
F(0) = F(0) + C.
\)

Вычислим \( C \):
\(
C = 0.
\)

Таким образом, получаем:
\(
F(x) = F(-x).
\)

Что и требовалось доказать.