ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( F \) является первообразной функции \( f \) на промежутке \( I \):

1) \( F(x) = x^4 — 2x^2 + 6, \quad f(x) = 4x^3 — 4x, \quad I = (-\infty; +\infty); \)

2) \( F(x) = \frac{1}{x^3}, \quad f(x) = -\frac{3}{x^4}, \quad I = (-\infty; 0); \)

3) \( F(x) = 5 — 3\sqrt{x}, \quad f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}, \quad I = (0; +\infty); \)

4) \( F(x) = 3\tan\left(\frac{x}{3}\right) + 6, \quad f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)}, \quad I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right). \)

Доказать, что функция \( F \) является первообразной данной функции \( f \):

1) \( F(x) = x^4 — 2x^2 + 6, \, f(x) = 4x^3 — 4x; \)
\(
F'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x = 4x^3 — 4x = f(x);
\)
Что и требовалось доказать.

2) \( F(x) = \frac{1}{x^3}, \, f(x) = -\frac{3}{x^4}, \, (-\infty; 0); \)
\(
F'(x) = (x^{-3})’ = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} = f(x);
\)
Что и требовалось доказать.

3) \( F(x) = 5 — 3\sqrt{x}, \, f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}, \, (0; +\infty); \)
\(
F'(x) = 5 — 3\sqrt{x} = 0 — 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}} = f(x);
\)
Что и требовалось доказать.

4) \( F(x) = 3 \cdot \tan\frac{x}{3} + 6, \, f(x) = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}, \, \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right); \)
\(
F'(x) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}} = f(x);
\)
Что и требовалось доказать.

Доказать, что функция \( F \) является первообразной данной функции \( f \):

1) Рассмотрим функцию \( F(x) = x^4 — 2x^2 + 6 \) и её производную. Найдем \( F'(x) \):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) — \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(6)
\)

Вычисляем производные:

\(
F'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x
\)

Теперь сравним с функцией \( f(x) = 4x^3 — 4x \):

\(
F'(x) = f(x)
\)

Таким образом, мы доказали, что \( F \) является первообразной для \( f \).

2) Рассмотрим функцию \( F(x) = \frac{1}{x^3} \) и её производную. Найдем \( F'(x) \):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3}\right)
\)

Используя правило дифференцирования для степенной функции, получаем:

\(
F'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}
\)

Сравниваем с функцией \( f(x) = -\frac{3}{x^4} \):

\(
F'(x) = f(x)
\)

Таким образом, мы доказали, что \( F \) является первообразной для \( f \).

3) Рассмотрим функцию \( F(x) = 5 — 3\sqrt{x} \) и её производную. Найдем \( F'(x) \):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(5) — \frac{d}{dx}(3\sqrt{x})
\)

Вычисляем производные:

\(
F'(x) = 0 — 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}}
\)

Сравниваем с функцией \( f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} \):

\(
F'(x) = f(x)
\)

Таким образом, мы доказали, что \( F \) является первообразной для \( f \).

4) Рассмотрим функцию \( F(x) = 3 \cdot \tan\left(\frac{x}{3}\right) + 6 \) и её производную. Найдем \( F'(x) \):

\(
F'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{x}{3}\right)\right)
\)

Используя правило дифференцирования для функции тангенса, получаем:

\(
F'(x) = 3 \cdot \sec^2\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}
\)

Упрощаем:

\(
F'(x) = \sec^2\left(\frac{x}{3}\right)
\)

Сравниваем с функцией \( f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \):

\(
F'(x) = f(x)
\)

Таким образом, мы доказали, что \( F \) является первообразной для \( f \).