ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Определённая на R чётная функция f имеет первообразную. Докажите, что среди первообразных функции f есть нечётная функция.

Дана чётная функция \( f(x) \), область определения \( D(x) = \mathbb{R} \).

Имеется первообразная \( F(x) \), такая что:
\(
F'(x) = f(x).
\)

Рассмотрим производную первообразной в точке \(-x\):
\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x).
\)

Так как производная \((-x)’\) равна \(-1\), то:
\(
F'(-x) = -f(-x).
\)

Поскольку функция \( f(x) \) является чётной, выполняется равенство:
\(
f(-x) = f(x).
\)

Подставим это равенство:
\(
F'(-x) = -f(x).
\)

Следовательно:
\(
F'(-x) = -F'(x).
\)

Рассмотрим связь первообразной \( F(x) \) с её значением в точке \(-x\):
\(
F(-x) = -F(x) + C,
\)
где \( C \) — произвольная константа.

Если \( C = 0 \), то:
\(
F(-x) = -F(x).
\)

Что и требовалось доказать.

Дана чётная функция \( f(x) \), область определения \( D(x) = \mathbb{R} \).

Имеется первообразная \( F(x) \), такая что:

\(
F'(x) = f(x).
\)

Рассмотрим производную первообразной в точке \(-x\):

\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x).
\)

Здесь мы применяем правило дифференцирования составной функции. Так как производная \((-x)’\) равна \(-1\), то:

\(
F'(-x) = -f(-x).
\)

Теперь, поскольку функция \( f(x) \) является чётной, выполняется равенство:

\(
f(-x) = f(x).
\)

Подставим это равенство в предыдущее уравнение:

\(
F'(-x) = -f(x).
\)

Следовательно, мы можем записать:

\(
F'(-x) = -F'(x).
\)

Это указывает на то, что производная первообразной в точке \(-x\) является противоположной производной в точке \( x \).

Теперь рассмотрим связь первообразной \( F(x) \) с её значением в точке \(-x\):

\(
F(-x) = -F(x) + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа. Это уравнение показывает, что значение первообразной в точке \(-x\) связано со значением в точке \( x \).

Если мы примем \( C = 0 \), то получаем:

\(
F(-x) = -F(x).
\)

Это уравнение подтверждает, что первообразная \( F(x) \) также является чётной функцией.

Таким образом, мы доказали, что если функция \( f(x) \) является чётной, то её первообразная \( F(x) \) также будет чётной, что и требовалось доказать.