Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Определённая на R чётная функция f имеет первообразную. Докажите, что среди первообразных функции f есть нечётная функция.
Дана чётная функция \( f(x) \), область определения \( D(x) = \mathbb{R} \).
Имеется первообразная \( F(x) \), такая что:
\(
F'(x) = f(x).
\)
Рассмотрим производную первообразной в точке \(-x\):
\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x).
\)
Так как производная \((-x)’\) равна \(-1\), то:
\(
F'(-x) = -f(-x).
\)
Поскольку функция \( f(x) \) является чётной, выполняется равенство:
\(
f(-x) = f(x).
\)
Подставим это равенство:
\(
F'(-x) = -f(x).
\)
Следовательно:
\(
F'(-x) = -F'(x).
\)
Рассмотрим связь первообразной \( F(x) \) с её значением в точке \(-x\):
\(
F(-x) = -F(x) + C,
\)
где \( C \) — произвольная константа.
Если \( C = 0 \), то:
\(
F(-x) = -F(x).
\)
Что и требовалось доказать.
Дана чётная функция \( f(x) \), область определения \( D(x) = \mathbb{R} \).
Имеется первообразная \( F(x) \), такая что:
\(
F'(x) = f(x).
\)
Рассмотрим производную первообразной в точке \(-x\):
\(
F'(-x) = (-x)’ \cdot F'(x).
\)
Здесь мы применяем правило дифференцирования составной функции. Так как производная \((-x)’\) равна \(-1\), то:
\(
F'(-x) = -f(-x).
\)
Теперь, поскольку функция \( f(x) \) является чётной, выполняется равенство:
\(
f(-x) = f(x).
\)
Подставим это равенство в предыдущее уравнение:
\(
F'(-x) = -f(x).
\)
Следовательно, мы можем записать:
\(
F'(-x) = -F'(x).
\)
Это указывает на то, что производная первообразной в точке \(-x\) является противоположной производной в точке \( x \).
Теперь рассмотрим связь первообразной \( F(x) \) с её значением в точке \(-x\):
\(
F(-x) = -F(x) + C,
\)
где \( C \) — произвольная константа. Это уравнение показывает, что значение первообразной в точке \(-x\) связано со значением в точке \( x \).
Если мы примем \( C = 0 \), то получаем:
\(
F(-x) = -F(x).
\)
Это уравнение подтверждает, что первообразная \( F(x) \) также является чётной функцией.
Таким образом, мы доказали, что если функция \( f(x) \) является чётной, то её первообразная \( F(x) \) также будет чётной, что и требовалось доказать.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.