ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Является ли функция } F(x) = \frac{1}{x^2} \text{ первообразной функции } f(x) = -\frac{2}{x^3} \text{ на промежутке:}
\)

1) \( (0; +\infty) \);
2) \( (-2; 2) \);
3) \( (-\infty; 0] \);
4) \( (-6; 0) \).

Является ли функция \( F \) первообразной функции \( f \) на указанном промежутке:

\( F(x) = \frac{1}{x^2}, \, f(x) = -\frac{2}{x^3}; \)
\(
F'(x) = \left(x^{-2}\right)’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3};
\)
\( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). \)

1) \( (0; +\infty); \)
Ответ: да.

2) \( (-2; 2); \)
Ответ: нет.

3) \( (-\infty; 0]; \)
Ответ: нет.

4) \( (-6; 0); \)
Ответ: да.

Рассмотрим функцию \( F(x) = \frac{1}{x^2} \) и её производную:

\(
F'(x) = \left( x^{-2} \right)’ = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}.
\)

Функция \( f(x) = -\frac{2}{x^3} \) совпадает с производной \( F'(x) \), что указывает на то, что \( F \) является первообразной \( f \) на промежутках, где обе функции определены.

Область определения \( D(x) \) функции \( F(x) \) и \( f(x) \):

\(
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
\)

Теперь рассмотрим указанные промежутки:

1) Для промежутка \( (0; +\infty) \):
На этом промежутке функция \( F(x) \) определена и её производная совпадает с \( f(x) \).
Ответ: да.

2) Для промежутка \( (-2; 2) \):
На этом промежутке функция \( F(x) \) не определена в точке \( x = 0 \), поэтому не может быть первообразной на всём промежутке.
Ответ: нет.

3) Для промежутка \( (-\infty; 0] \):
На этом промежутке функция \( F(x) \) также не определена в точке \( x = 0 \), и следовательно, не может быть первообразной на всём промежутке.
Ответ: нет.

4) Для промежутка \( (-6; 0) \):
На этом промежутке функция \( F(x) \) не определена в точке \( x = 0 \), однако она определена для всех значений от \( -6 \) до \( 0 \), исключая саму точку.
Ответ: да.

Таким образом, функция \( F(x) = \frac{1}{x^2} \) является первообразной функции \( f(x) = -\frac{2}{x^3} \) на промежутках 1 и 4.