ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите общий вид первообразных функции:}
\)

\( f(x) = 5 \) на промежутке \( (-\infty; 0) \);

\( f(x) = x \) на промежутке \( [1; +\infty) \);

\( f(x) = x^6 \) на промежутке \( (-\infty; -3) \);

\( f(x) = 2^x \) на промежутке \( (0; +\infty) \);

\( f(x) = \frac{1}{x^7} \) на промежутке \( (-\infty; 0) \);

\( f(x) = \sqrt{x} \) на промежутке \( [1; +\infty) \);

\( f(x) = x^{1/5} \) на промежутке \( (-\infty; -3) \);

\( f(x) = x^{-5} \) на промежутке \( (0; +\infty) \).

1) \( f(x) = 5; \)
\( F(x) = 5x + C; \)

2) \( f(x) = x; \)
\( F(x) = \frac{x^2}{2} + C; \)

3) \( f(x) = x^6; \)
\( F(x) = \frac{x^7}{7} + C; \)

4) \( f(x) = 2^x; \)
\( F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C; \)

5) \( f(x) = \frac{1}{x^7}, \quad (-\infty; 0); \)
\( F(x) = \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{6 x^6} + C; \)

6) \( f(x) = \sqrt{x}, \quad [1; +\infty); \)
\( F(x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C; \)

7) \( f(x) = \sqrt[5]{x}, \quad (-\infty; -3); \)
\( F(x) = \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C; \)

8) \( f(x) = x^{-5}, \quad (0; +\infty); \)
\( F(x) = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4 x^4} + C; \)

1) Для функции \( f(x) = 5 \):
\(
F(x) = \int 5 \, dx = 5x + C
\)
Здесь \( C \) — произвольная константа интегрирования.

2) Для функции \( f(x) = x \):
\(
F(x) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C
\)
Это стандартная формула для интегрирования степени.

3) Для функции \( f(x) = x^6 \):
\(
F(x) = \int x^6 \, dx = \frac{x^7}{7} + C
\)
Здесь также используется правило интегрирования степеней.

4) Для функции \( f(x) = 2^x \):
\(
F(x) = \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C
\)
Интеграл экспоненциальной функции требует деления на натуральный логарифм основания.

5) Для функции \( f(x) = \frac{1}{x^7}, \quad (-\infty; 0) \):
\(
F(x) = \int \frac{1}{x^7} \, dx = \int x^{-7} \, dx = \frac{x^{-6}}{-6} = -\frac{1}{6 x^6} + C
\)
Здесь мы снова используем правило интегрирования степеней.

6) Для функции \( f(x) = \sqrt{x}, \quad [1; +\infty) \):
\(
F(x) = \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C
\)
В этом случае мы также применяем правило для интегрирования степеней.

7) Для функции \( f(x) = \sqrt[5]{x}, \quad (-\infty; -3) \):
\(
F(x) = \int x^{\frac{1}{5}} \, dx = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C
\)
Здесь мы используем аналогичное правило для дробных степеней.

8) Для функции \( f(x) = x^{-5}, \quad (0; +\infty) \):
\(
F(x) = \int x^{-5} \, dx = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4 x^4} + C
\)
Это также следует из правила интегрирования степеней.