ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Проверьте, что:
1)
\(
\int x \cos(x) \, dx = \cos(x) + x \sin(x) + C,
\)
2)
\(
\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C,
\)
где \( C \) — произвольная константа.

Проверить, что:

1) \(\int x \cos x \, dx = \cos x + x \sin x + C;\)
\(
F(x) = \cos x + x \sin x + C;
\)
\(
F'(x) = -\sin x + \sin x + x \cos x;
\)
\(
F'(x) = x \cos x;
\)
Ответ: да.

2) \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C;\)
\(
F(x) = \sqrt{x^2 + 4} + C;
\)
\(
F'(x) = \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}};
\)
Ответ: да.

1) Проверим интеграл:

\(
\int x \cos x \, dx = \cos x + x \sin x + C.
\)

Обозначим

\(
F(x) = \cos x + x \sin x + C.
\)

Теперь найдем производную \(F'(x)\):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) + \frac{d}{dx}(x \sin x) + \frac{d}{dx}(C).
\)

Используем правило производной для произведения:

\(
F'(x) = -\sin x + \left(1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x\right) + 0.
\)

Упрощаем:

\(
F'(x) = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x.
\)

Таким образом, мы видим, что

\(
F'(x) = x \cos x,
\)

что подтверждает, что интеграл найден правильно. Ответ: да.

2) Проверим второй интеграл:

\(
\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx = \sqrt{x^2 + 4} + C.
\)

Обозначим

\(
F(x) = \sqrt{x^2 + 4} + C.
\)

Теперь найдем производную \(F'(x)\):

\(
F'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 4}) + \frac{d}{dx}(C).
\)

Используем правило производной для корня:

\(
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 4).
\)

Находим производную \(x^2 + 4\):

\(
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.
\)

Таким образом, мы видим, что

\(
F'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}},
\)

что подтверждает, что интеграл найден правильно. Ответ: да.