ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Проверьте, что функция } F(x) = \frac{x-2}{3x-1} \text{ является первообразной функции }
\)
\(
f(x) = \frac{5}{(3x-1)^2} \text{ на каждом из промежутков } (-\infty, \frac{1}{3}) \text{ и } (\frac{1}{3}, +\infty).
\)
\(
\text{Запишите общий вид первообразных функции } f \text{ на каждом из указанных промежутков.}
\)

Является ли функция \(F\) первообразной функции \(f\) на указанном промежутке:

\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1}, \quad f(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2};
\)
\(
F'(x) = \frac{1 \cdot (3x — 1) — (x — 2) \cdot 3}{(3x — 1)^2};
\)
\(
F'(x) = \frac{3x — 1 — 3x + 6}{(3x — 1)^2} = \frac{5}{(3x — 1)^2};
\)

Область определения:
\(
3x — 1 \neq 0, \quad x \neq \frac{1}{3};
\)
\(
D = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty).
\)

Ответ: да; \(F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1} + C.\)

Является ли функция \(F\) первообразной функции \(f\) на указанном промежутке:

Даны функции:

\(
F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1}, \quad f(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2}
\)

Выполним проверку, вычислив производную функции \(F(x)\) и сравнив её с \(f(x)\).

Вычислим производную \(F'(x)\):

\(
F'(x) = \frac{\text{производная числителя} \cdot \text{знаменатель} — \text{числитель} \cdot \text{производная знаменателя}}{\text{знаменатель}^2}
\)

Числитель функции \(F(x)\) равен \(x — 2\), его производная равна \(1\). Знаменатель функции \(F(x)\) равен \(3x — 1\), его производная равна \(3\). Подставим в формулу:

\(
F'(x) = \frac{1 \cdot (3x — 1) — (x — 2) \cdot 3}{(3x — 1)^2}
\)

Упростим числитель:

\(
F'(x) = \frac{3x — 1 — 3x + 6}{(3x — 1)^2}
\)

Сократим подобные члены:

\(
F'(x) = \frac{5}{(3x — 1)^2}
\)

Таким образом, производная функции \(F(x)\) совпадает с функцией \(f(x)\), то есть:

\(
F'(x) = f(x)
\)

Теперь определим область определения функции \(F(x)\). Функция \(F(x)\) имеет знаменатель \(3x — 1\), который не должен быть равен нулю. Решим уравнение:

\(
3x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}
\)

Следовательно, область определения функции \(F(x)\):

\(
D = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)
\)

На указанном промежутке функция \(F(x)\) является первообразной функции \(f(x)\), так как их производная совпадает, и область определения функции \(F(x)\) совпадает с областью определения функции \(f(x)\).

Ответ: да; \(F(x) = \frac{x — 2}{3x — 1} + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.