ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \( f(x) \) найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) \( f(x) = x^2 \), \( A(-1; 3) \);
2) \( f(x) = \sin(x) \), \( B(\pi; -1) \);
3) \( f(x) = e^x \), \( C(0; -6) \).

1) \(f(x) = x^2\), \(A(-1; 3)\);
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} + C;
\)
\(
F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + C = 3;
\)
\(
-\frac{1}{3} + C = 3;
\)
\(
C = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3};
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}.
\)

2) \(f(x) = \sin x\), \(B(\pi; -1)\);
\(
F(x) = -\cos x + C;
\)
\(
F(\pi) = -\cos \pi + C = -1;
\)
\(
1 + C = -1;
\)
\(
C = -2;
\)
Ответ:
\(
F(x) = -\cos x — 2.
\)

3) \(f(x) = e^x\), \(C(0; -6)\);
\(
F(x) = e^x + C;
\)
\(
F(0) = e^0 + C = -6;
\)
\(
1 + C = -6;
\)
\(
C = -7;
\)
Ответ:
\(
F(x) = e^x — 7.
\)

1) Для функции \( f(x) = x^2 \) и точки \( A(-1; 3) \):

Необходимо найти первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = \frac{x^3}{3} + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа. Подставим координаты точки \( A \) в уравнение первообразной:

\(
F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + C = 3.
\)

Вычислим значение:

\(
-\frac{1}{3} + C = 3.
\)

Теперь найдем \( C \):

\(
C = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}.
\)

2) Для функции \( f(x) = \sin x \) и точки \( B(\pi; -1) \):

Ищем первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = -\cos x + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа. Подставим координаты точки \( B \):

\(
F(\pi) = -\cos \pi + C = -1.
\)

Вычислим значение:

\(
1 + C = -1.
\)

Теперь найдем \( C \):

\(
C = -2.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = -\cos x — 2.
\)

3) Для функции \( f(x) = e^x \) и точки \( C(0; -6) \):

Находим первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = e^x + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа. Подставим координаты точки \( C \):

\(
F(0) = e^0 + C = -6.
\)

Вычислим значение:

\(
1 + C = -6.
\)

Теперь найдем \( C \):

\(
C = -7.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = e^x — 7.
\)