ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 9.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Для функции } f \text{ найдите первообразную, график которой проходит через указанную}
\)
\(
точку:}
\)

1) \( f(x) = x^3, \quad M(1; \frac{5}{4}) \)

2) \( f(x) = \cos(x), \quad N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right) \)

3) \( f(x) = 3^x, \quad K(2; \frac{9}{\ln 3}) \)

1) \(f(x) = x^3\), \(M(1; \frac{5}{4})\);
\(
F(x) = \frac{x^4}{4} + C;
\)
\(
F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{5}{4};
\)
\(
\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4};
\)
\(
C = 1;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{x^4}{4} + 1.
\)

2) \(f(x) = \cos x\), \(N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right)\);
\(
F(x) = \sin x + C;
\)
\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{5}{2};
\)
\(
\frac{1}{2} + C = \frac{5}{2};
\)
\(
C = 2;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \sin x + 2.
\)

3) \(f(x) = 3^x\), \(K(2; \frac{9}{\ln 3})\);
\(
F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C;
\)
\(
F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3};
\)
\(
\frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3};
\)
\(
C = 0;
\)
Ответ:
\(
F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}.
\)

1) Для функции \( f(x) = x^3 \) и точки \( M(1; \frac{5}{4}) \):

Найдем первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа.

Теперь подставим точку \( M(1; \frac{5}{4}) \) в уравнение:

\(
F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{5}{4}.
\)

Вычислим \( F(1) \):

\(
F(1) = \frac{1}{4} + C.
\)

Приравняем это значение к \( \frac{5}{4} \):

\(
\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4}.
\)

Вычтем \( \frac{1}{4} \) из обеих сторон:

\(
C = 1.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = \frac{x^4}{4} + 1.
\)

2) Для функции \( f(x) = \cos x \) и точки \( N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right) \):

Найдем первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int \cos x \, dx = \sin x + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа.

Теперь подставим точку \( N\left(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2}\right) \):

\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \frac{5}{2}.
\)

Вычислим \( F\left(\frac{\pi}{6}\right) \):

\(
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + C.
\)

Приравняем это значение к \( \frac{5}{2} \):

\(
\frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}.
\)

Вычтем \( \frac{1}{2} \) из обеих сторон:

\(
C = 2.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = \sin x + 2.
\)

3) Для функции \( f(x) = 3^x \) и точки \( K(2; \frac{9}{\ln 3}) \):

Найдем первообразную \( F(x) \):

\(
F(x) = \int f(x) \, dx = \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C,
\)

где \( C \) — произвольная константа.

Теперь подставим точку \( K(2; \frac{9}{\ln 3}) \):

\(
F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}.
\)

Вычислим \( F(2) \):

\(
F(2) = \frac{9}{\ln 3} + C.
\)

Приравняем это значение к \( \frac{9}{\ln 3} \):

\(
\frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}.
\)

Вычтем \( \frac{9}{\ln 3} \) из обеих сторон:

\(
C = 0.
\)

Таким образом, окончательная форма первообразной:

\(
F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}.
\)