ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что a и b — натуральные числа, а число \(\frac{a}{b}\) — правильная дробь. Можно ли утверждать, что:

1) \(a — b > 0\);

2) \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\);

3) \(\frac{b}{a} > \frac{a}{b}\)?

\(\frac{a}{b}\) — правильная дробь, значит, \(a < b\), тогда:

1) \(a — b > 0 →\) неверно, так как \(a < b\);

2) \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b} →\) верно, так как \(a < b\);

3) \(\frac{b}{a} > \frac{a}{b} →\) верно, так как \(b > a\).

Задано: \(a\) и \(b\) — натуральные числа, а \(\frac{a}{b}\) — правильная дробь.
Напомним, что правильная дробь означает \(a < b\).

1) Проверяем \(a — b > 0\):

\(a — b > 0 \)

Поскольку \(a < b\), вычитание дает:

\(a — b < 0\)

Следовательно, утверждение неверно.

2) Проверяем \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b}\):

Так как \(a < b\), обратные величины удовлетворяют неравенству:

\(\frac{1}{a} > \frac{1}{b} \)

Утверждение верно.

3) Проверяем \(\frac{b}{a} > \frac{a}{b}\):

Так как \(b > a\), имеем:

\(\frac{b}{a} > 1\) и \(\frac{a}{b} < 1\)

Следовательно:

\(\frac{b}{a} > \frac{a}{b}\)

Утверждение верно.