ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 10.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что выражение \((7y^2 — 9y + 8) — (3y^2 — 6y + 4) + 3y\) принимает положительное значение при любом значении y. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y?

\((7y^2 — 9y + 8) — (3y^2 — 6y + 4) + 3y = 7y^2 — 9y + 8 -\)

\(- 3y^2 + 6y — 4 + 3y = 4y^2 + 4 = 4(y^2 + 1) > 0\) при любом \(y\), так как \(y^2 \ge 0\), а \(y^2 + 1 > 0\), следовательно, \(4(y^2 + 1) > 0\) при любом \(y\).

Наименьшее значение равно 4 при \(y = 0\).

Рассмотрим выражение \((7y^2 — 9y + 8) — (3y^2 — 6y + 4) + 3y\).

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и правильно учитывая знаки.

После раскрытия скобок получаем:

\(7y^2 — 9y + 8 — 3y^2 + 6y — 4 + 3y\).

Теперь приведём подобные слагаемые.

Слагаемые, содержащие \(y^2\):

\(7y^2 — 3y^2 = 4y^2\).

Слагаемые, содержащие \(y\):

\(-9y + 6y + 3y = 0\).

Свободные члены:

\(8 — 4 = 4\).

В результате упрощения получаем выражение:

\(4y^2 + 4\).

Вынесем общий множитель \(4\) за скобки:

\(4y^2 + 4 = 4(y^2 + 1)\).

Так как при любом действительном \(y\) выполняется неравенство \(y^2 \ge 0\), то выражение \(y^2 + 1\) всегда строго положительно:

\(y^2 + 1 > 0\).

Произведение положительного числа \(4\) и положительного выражения \(y^2 + 1\) также является положительным:

\(4(y^2 + 1) > 0\).

Следовательно, исходное выражение принимает положительное значение при любом значении \(y\).

Для нахождения наименьшего значения заметим, что минимальное значение выражения \(y^2\) равно \(0\) и достигается при \(y = 0\).

Подставим \(y = 0\) в выражение \(4(y^2 + 1)\):

\(4(0^2 + 1) = 4\).

Таким образом, наименьшее значение данного выражения равно \(4\) и достигается при \(y = 0\).