ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 10.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3;

2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;

3) сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 4;

4) сумма пяти последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 10.

1) Пусть даны три последовательных натуральных числа: \((n — 1), n, (n + 1)\).

Тогда:

\((n — 1) + n + (n + 1) = n — 1 + n + n + 1 = 3n\) → кратно 3.

2) Пусть даны семь последовательных натуральных чисел: \((n — 3), (n — 2), (n — 1), n, (n + 1), (n + 2), (n + 3)\).

Тогда:

\((n — 3) + (n — 2) + (n — 1) + n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) =\)

\(= n — 3 + n — 2 + n — 1 + n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 7n\) → делится нацело на 7.

3) Пусть даны четыре последовательных четных натуральных числа: \((2n — 2), 2n, (2n + 2)\) и \((2n + 4)\).

Тогда:

\((2n — 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n — 2 + 2n + 2n + 2 +\)

\(+ 2n + 4 = 8n + 4 = 4(2n + 1)\) → делится нацело на 4.

4) Пусть даны пять последовательных четных натуральных чисел: \((2n — 4), (2n — 2), 2n, (2n + 2), (2n + 4)\).

Тогда:

\((2n — 4) + (2n — 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4) =\)

\(= 2n — 4 + 2n — 2 + 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 10n\) → делится нацело на 10.

Докажем каждое утверждение последовательно.

1) Докажем, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.

Пусть даны три последовательных натуральных числа:

\((n — 1), n, (n + 1)\).

Найдём их сумму:

\((n — 1) + n + (n + 1)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(n — 1 + n + n + 1 = 3n\).

Так как \(3n\) делится нацело на 3 при любом натуральном \(n\), то сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3.

2) Докажем, что сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

Пусть даны семь последовательных натуральных чисел:

\((n — 3), (n — 2), (n — 1), n, (n + 1), (n + 2), (n + 3)\).

Найдём их сумму:

\((n — 3) + (n — 2) + (n — 1) + n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(n — 3 + n — 2 + n — 1 + n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 7n\).

Так как \(7n\) делится нацело на 7 при любом натуральном \(n\), то сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

3) Докажем, что сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Пусть даны четыре последовательных чётных натуральных числа:

\((2n — 2), 2n, (2n + 2), (2n + 4)\).

Найдём их сумму:

\((2n — 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(2n — 2 + 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 8n + 4\).

Вынесем общий множитель \(4\) за скобки:

\(8n + 4 = 4(2n + 1)\).

Так как \(4(2n + 1)\) делится нацело на 4 при любом натуральном \(n\), то сумма четырёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 4.

4) Докажем, что сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.

Пусть даны пять последовательных чётных натуральных чисел:

\((2n — 4), (2n — 2), 2n, (2n + 2), (2n + 4)\).

Найдём их сумму:

\((2n — 4) + (2n — 2) + 2n + (2n + 2) + (2n + 4)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(2n — 4 + 2n — 2 + 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 10n\).

Так как \(10n\) делится нацело на 10 при любом натуральном \(n\), то сумма пяти последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 10.