ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 10.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не существует таких значений x и y, при которых многочлены \(5x^2 — 6xy — 7y^2\) и \(-3x^2 + 6xy + 8y^2\) одновременно принимали бы отрицательные значения.

Рассмотрим сумму данных многочленов:

\(5x^2 — 6xy — 7y^2 + (-3x^2 + 6xy + 8y^2) = 5x^2 — 6xy — 7y^2 -\)

\(- 3x^2 + 6xy + 8y^2 = 2x^2 + y^2 \ge 0\) при любых значениях \(x\) и \(y\).

Следовательно, данные многочлены не могут принимать отрицательные значения одновременно.

Рассмотрим два многочлена \(5x^2 — 6xy — 7y^2\) и \(-3x^2 + 6xy + 8y^2\).

Требуется доказать, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых оба этих многочлена одновременно принимают отрицательные значения.

Рассмотрим их сумму, так как если бы оба многочлена были отрицательными, то их сумма также была бы отрицательной.

Найдём сумму данных многочленов:

\((5x^2 — 6xy — 7y^2) + (-3x^2 + 6xy + 8y^2)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(5x^2 — 6xy — 7y^2 — 3x^2 + 6xy + 8y^2\).

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые.

Слагаемые, содержащие \(x^2\):

\(5x^2 — 3x^2 = 2x^2\).

Слагаемые, содержащие \(xy\):

\(-6xy + 6xy = 0\).

Слагаемые, содержащие \(y^2\):

\(-7y^2 + 8y^2 = y^2\).

Таким образом, сумма данных многочленов равна:

\(2x^2 + y^2\).

Заметим, что при любых действительных значениях \(x\) и \(y\) выполняются неравенства \(x^2 \ge 0\) и \(y^2 \ge 0\).

Следовательно, выражение \(2x^2 + y^2\) также неотрицательно при любых значениях \(x\) и \(y\):

\(2x^2 + y^2 \ge 0\).

Это означает, что сумма данных многочленов никогда не может быть отрицательной.

Следовательно, невозможно, чтобы оба многочлена \(5x^2 — 6xy — 7y^2\) и \(-3x^2 + 6xy + 8y^2\) одновременно принимали отрицательные значения.

Таким образом, доказано, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых оба данных многочлена были бы отрицательными одновременно.