ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 10.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не существует таких значений x и y, при которых многочлены \(-5x^2 + 3xy + 4y^2\) и \(6x^2 — 3xy — y^2\) одновременно принимали бы отрицательные значения.

Рассмотрим сумму данных многочленов:

\(-5x^2 + 3xy + 4y^2 + (6x^2 — 3xy — y^2) = -5x^2 + 3xy + 4y^2 +\)

\(+ 6x^2 — 3xy — y^2 = x^2 + 3y^2 \ge 0\) при любых значениях \(x\) и \(y\).

Следовательно, данные многочлены не могут принимать отрицательные значения одновременно.

Рассмотрим два многочлена \(-5x^2 + 3xy + 4y^2\) и \(6x^2 — 3xy — y^2\).

Требуется доказать, что не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых оба этих многочлена одновременно принимают отрицательные значения.

Предположим, что существует пара значений \(x\) и \(y\), при которых оба многочлена отрицательны.

Тогда их сумма также должна быть отрицательной.

Рассмотрим сумму данных многочленов:

\((-5x^2 + 3xy + 4y^2) + (6x^2 — 3xy — y^2)\).

Раскроем скобки и объединим все слагаемые:

\(-5x^2 + 3xy + 4y^2 + 6x^2 — 3xy — y^2\).

Приведём подобные слагаемые.

Слагаемые с \(x^2\):

\(-5x^2 + 6x^2 = x^2\).

Слагаемые с \(xy\):

\(3xy — 3xy = 0\).

Слагаемые с \(y^2\):

\(4y^2 — y^2 = 3y^2\).

В результате получаем сумму многочленов:

\(x^2 + 3y^2\).

Известно, что при любых действительных значениях \(x\) и \(y\) выполняются неравенства \(x^2 \ge 0\) и \(y^2 \ge 0\).

Следовательно, выражение \(x^2 + 3y^2\) также неотрицательно при любых значениях \(x\) и \(y\):

\(x^2 + 3y^2 \ge 0\).

Получили противоречие с предположением о том, что сумма двух отрицательных многочленов может быть отрицательной.

Следовательно, не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых многочлены \(-5x^2 + 3xy + 4y^2\) и \(6x^2 — 3xy — y^2\) одновременно принимали бы отрицательные значения.