ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях x значение выражения \(4(x^{2} — 2x + 4) — 0,5x(6x — 16)\) является положительным числом.

\(4(x^{2} — 2x + 4) — 0,5x(6x — 16) = 4x^{2} — 8x + 16 — 3x^{2} + 8x = \)

\(= x^{2} + 16 > 0\) при любых \(x\), так как \(x^{2} \geq 0\), а \(x^{2} + 16 > 0\) ⇒ что и требовалось доказать.

Условие: требуется доказать, что при любых значениях \(x\) значение выражения \(4(x^{2} — 2x + 4) — 0,5x(6x — 16)\) является положительным числом.

Рассмотрим данное выражение:

\(4(x^{2} — 2x + 4) — 0,5x(6x — 16)\).

Последовательно раскроем скобки в каждом произведении.

Сначала раскроем первую скобку:

\(4(x^{2} — 2x + 4) = 4 \cdot x^{2} — 4 \cdot 2x + 4 \cdot 4 = 4x^{2} — 8x + 16\).

Теперь раскроем вторую скобку:

\(0,5x(6x — 16) = 0,5x \cdot 6x — 0,5x \cdot 16 = 3x^{2} — 8x\).

Учитывая знак минус перед вторым произведением, меняем знаки всех его слагаемых:

\(-3x^{2} + 8x\).

Запишем всё выражение после раскрытия скобок:

\(4x^{2} — 8x + 16 — 3x^{2} + 8x\).

Приведём подобные члены.

Слагаемые с \(x^{2}\):

\(4x^{2} — 3x^{2} = x^{2}\).

Слагаемые с \(x\):

\(-8x + 8x = 0\).

После приведения подобных членов получаем:

\(x^{2} + 16\).

Рассмотрим знак полученного выражения.

Для любого действительного \(x\) выполняется неравенство:

\(x^{2} \geq 0\).

Следовательно:

\(x^{2} + 16 \geq 16\).

Так как \(16 > 0\), то сумма \(x^{2} + 16\) всегда является положительным числом при любых значениях \(x\).

Таким образом, исходное выражение принимает только положительные значения при всех \(x\).

Что и требовалось доказать.