ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что выражение \(7a^{4}(a + 3) — a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5})\) принимает неотрицательные значения при всех значениях a.

\(7a^{4}(a + 3) — a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5}) = 7a^{5} + 21a^{4} — 21a^{4} — \)

\(- 7a^{5} + 3a^{8} = 3a^{8} \geq 0\) при всех значениях \(a\), так как \(a^{8} \geq 0\),
и \(3a^{8} \geq 0.\)

Условие: требуется доказать, что выражение \(7a^{4}(a + 3) — a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5})\) принимает неотрицательные значения при всех значениях переменной \(a\).

Рассмотрим данное выражение:

\(7a^{4}(a + 3) — a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5})\).

Последовательно раскроем скобки в каждом произведении.

Сначала раскроем первое произведение:

\(7a^{4}(a + 3) = 7a^{4} \cdot a + 7a^{4} \cdot 3 = 7a^{5} + 21a^{4}\).

Теперь раскроем второе произведение:

\(a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5}) = a^{3} \cdot 21a + a^{3} \cdot 7a^{2} — a^{3} \cdot 3a^{5}\).

Выполним умножение по каждому слагаемому:

\(a^{3} \cdot 21a = 21a^{4}\),

\(a^{3} \cdot 7a^{2} = 7a^{5}\),

\(a^{3} \cdot 3a^{5} = 3a^{8}\).

Следовательно:

\(a^{3}(21a + 7a^{2} — 3a^{5}) = 21a^{4} + 7a^{5} — 3a^{8}\).

Так как перед этим произведением стоит знак минус, меняем знаки всех его слагаемых:

\(-21a^{4} — 7a^{5} + 3a^{8}\).

Теперь запишем всё выражение после раскрытия всех скобок:

\(7a^{5} + 21a^{4} — 21a^{4} — 7a^{5} + 3a^{8}\).

Приведём подобные члены.

Слагаемые с \(a^{5}\):

\(7a^{5} — 7a^{5} = 0\).

Слагаемые с \(a^{4}\):

\(21a^{4} — 21a^{4} = 0\).

Остаётся одно слагаемое:

\(3a^{8}\).

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:

\(3a^{8}\).

Рассмотрим знак полученного выражения.

Для любого действительного \(a\) выполняется неравенство:

\(a^{8} \geq 0\).

Так как коэффициент \(3\) является положительным числом, то произведение

\(3a^{8} \geq 0\).

Следовательно, значение выражения \(3a^{8}\), а значит и исходного выражения, является неотрицательным при всех значениях переменной \(a\).

Что и требовалось доказать.