ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существуют ли такие попарно различные числа а, Ь и c, что a(b — c) = b(c — a) = c(a — b)?

\(a(b — c) = b(c — a) = c(a — b)\)

\(a(b — c) + b(c — a) + c(a — b) = ab — ac + bc — ab + ac — bc = 0.\)

Значит, \(a(b — c) = b(c — a) = c(a — b) = 0\), то есть,

\(a(b — c) = 0\) и \(b(c — a) = 0\) и \(c(a — b) = 0\), следовательно, таких чисел не существует.

Ответ: не существует.

Рассмотрим условие задачи: требуется выяснить, существуют ли такие попарно различные числа \(a\), \(b\) и \(c\), для которых выполняется равенство

\(a(b — c) = b(c — a) = c(a — b)\).

Это означает, что все три выражения равны между собой. Рассмотрим сумму этих трёх выражений:

\(a(b — c) + b(c — a) + c(a — b)\).

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

\(a(b — c) = ab — ac\),

\(b(c — a) = bc — ab\),

\(c(a — b) = ac — bc\).

Сложим полученные выражения:

\((ab — ac) + (bc — ab) + (ac — bc)\).

Приведём подобные слагаемые. Все положительные и отрицательные члены взаимно уничтожаются:

\(ab — ab — ac + ac + bc — bc = 0\).

Следовательно,

\(a(b — c) + b(c — a) + c(a — b) = 0\).

Так как по условию задачи все три выражения равны между собой, их сумма равна утроенному значению любого из них. Значит, каждое из выражений равно нулю:

\(a(b — c) = 0\),

\(b(c — a) = 0\),

\(c(a — b) = 0\).

Из равенства \(a(b — c) = 0\) следует, что либо \(a = 0\), либо \(b = c\).

Из равенства \(b(c — a) = 0\) следует, что либо \(b = 0\), либо \(c = a\).

Из равенства \(c(a — b) = 0\) следует, что либо \(c = 0\), либо \(a = b\).

Чтобы все три равенства выполнялись одновременно, необходимо, чтобы хотя бы в двух случаях переменные совпадали между собой, либо хотя бы одно из чисел было равно нулю и два других совпадали.

В любом из этих случаев числа \(a\), \(b\) и \(c\) не могут быть попарно различными.

Следовательно, таких попарно различных чисел \(a\), \(b\) и \(c\), удовлетворяющих условию задачи, не существует.

Ответ: не существуют.