ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 11.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \(ab(b — c) + ac(c — b) — a(b^{2} — 3bc + c^{2}) = abc\)

2) \(4a(a + b) — a(3a — 4b) — 8ab = a^{2}\)

3) \(a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)\)

4) \(a(b + c — bc) — b(a + c — ac) = (a — b)c\)

1) \(ab(b — c) + ac(c — b) — a(b^{2} — 3bc + c^{2}) = abc\)

\(ab^{2} — abc + ac^{2} — abc — ab^{2} + 3abc — ac^{2} = abc\)

\(abc = abc\) ⇒ что и требовалось доказать.

2) \(4a(a + b) — a(3a — 4b) — 8ab = a^{2}\)

\(4a^{2} + 4ab — 3a^{2} + 4ab — 8ab = a^{2}\)

\(a^{2} = a^{2}\) ⇒ что и требовалось доказать.

3) \(a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)\)

\(a^{2} + 2ab + ab + b^{2} = 2ab + b^{2} + a^{2} + ab\)

\(a^{2} + 3ab + b^{2} = a^{2} + 3ab + b^{2}\) ⇒ что и требовалось доказать.

4) \(a(b + c — bc) — b(a + c — ac) = (a — b)c\)

\(ab + ac — abc — ab — bc + abc = (a — b)c\)

\(ac — bc = (a — b)c\)

\((a — b)c = (a — b)c\) ⇒ что и требовалось доказать.

1) Докажем тождество \(ab(b — c) + ac(c — b) — a(b^{2} — 3bc + c^{2}) = abc\).

Раскроем скобки в первом произведении:

\(ab \cdot b — ab \cdot c = ab^{2} — abc\).

Раскроем скобки во втором произведении:

\(ac \cdot c — ac \cdot b = ac^{2} — abc\).

Раскроем скобки в третьем выражении с учётом знака минус:

\(-a \cdot b^{2} + a \cdot 3bc — a \cdot c^{2} = -ab^{2} + 3abc — ac^{2}\).

Сложим все полученные выражения:

\(ab^{2} — abc + ac^{2} — abc — ab^{2} + 3abc — ac^{2}\).

Приведём подобные члены:

\(ab^{2} — ab^{2} = 0\),

\(ac^{2} — ac^{2} = 0\),

\(-abc — abc + 3abc = abc\).

Получаем:

\(abc = abc\).

Тождество доказано.

2) Докажем тождество \(4a(a + b) — a(3a — 4b) — 8ab = a^{2}\).

Раскроем первую скобку:

\(4a \cdot a + 4a \cdot b = 4a^{2} + 4ab\).

Раскроем вторую скобку с учётом знака минус:

\(-a \cdot 3a + a \cdot 4b = -3a^{2} + 4ab\).

Запишем всё выражение:

\(4a^{2} + 4ab — 3a^{2} + 4ab — 8ab\).

Приведём подобные члены:

\(4a^{2} — 3a^{2} = a^{2}\),

\(4ab + 4ab — 8ab = 0\).

Получаем:

\(a^{2} = a^{2}\).

Тождество доказано.

3) Докажем тождество \(a(a + 2b) + b(a + b) = b(2a + b) + a(a + b)\).

Раскроем скобки в левой части:

\(a \cdot a + a \cdot 2b + b \cdot a + b \cdot b = a^{2} + 2ab + ab + b^{2}\).

Приведём подобные члены:

\(a^{2} + 3ab + b^{2}\).

Раскроем скобки в правой части:

\(b \cdot 2a + b \cdot b + a \cdot a + a \cdot b = 2ab + b^{2} + a^{2} + ab\).

Приведём подобные члены:

\(a^{2} + 3ab + b^{2}\).

Левая и правая части совпадают:

\(a^{2} + 3ab + b^{2} = a^{2} + 3ab + b^{2}\).

Тождество доказано.

4) Докажем тождество \(a(b + c — bc) — b(a + c — ac) = (a — b)c\).

Раскроем скобки в левой части:

\(a \cdot b + a \cdot c — a \cdot bc — b \cdot a — b \cdot c + b \cdot ac\).

Упростим произведения:

\(ab + ac — abc — ab — bc + abc\).

Приведём подобные члены:

\(ab — ab = 0\),

\(-abc + abc = 0\).

Остаётся:

\(ac — bc\).

Вынесем общий множитель \(c\):

\((a — b)c\).

Получаем:

\((a — b)c = (a — b)c\).

Тождество доказано.