ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого.

Пусть даны четыре последовательных натуральных числа: \( (x — 1) \), \( x \), \( (x + 1) \) и \( (x + 2) \).

Составим уравнение по условию задачи:

\( x(x + 2) — (x — 1)(x + 1) = 17 \)

\( x^{2} + 2x — (x^{2} + x — x — 1) = 17 \)

\( x^{2} + 2x — x^{2} + 1 = 17 \)

\( 2x = 17 — 1 \)

\( 2x = 16 \)

\( x = 8 \) → второе число.

\( x — 1 = 8 — 1 = 7 \) → первое число.

\( x + 1 = 8 + 1 = 9 \) → третье число.

\( x + 2 = 8 + 2 = 10 \) → четвертое число.

Ответ: 7, 8, 9 и 10.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа, начиная со второго, следующим образом:

первое число равно \( x — 1 \);

второе число равно \( x \);

третье число равно \( x + 1 \);

четвёртое число равно \( x + 2 \).

По условию задачи произведение четвёртого и второго чисел на 17 больше произведения третьего и первого чисел. Запишем это условие в виде уравнения:

\( x(x + 2) — (x — 1)(x + 1) = 17 \).

Сначала раскроем скобки в первом произведении:

\( x \cdot x = x^{2} \), \( x \cdot 2 = 2x \), поэтому получаем \( x^{2} + 2x \).

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

\( (x — 1)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 — 1 \cdot x — 1 \cdot 1 = x^{2} + x — x — 1 = x^{2} — 1 \).

Подставим полученные выражения в уравнение:

\( x^{2} + 2x — (x^{2} — 1) = 17 \).

Раскроем скобки, учитывая знак минус:

\( x^{2} + 2x — x^{2} + 1 = 17 \).

Приведём подобные слагаемые:

\( 2x + 1 = 17 \).

Перенесём число 1 в правую часть уравнения:

\( 2x = 17 — 1 \).

\( 2x = 16 \).

Разделим обе части уравнения на 2:

\( x = 8 \).

Теперь найдём все четыре числа:

первое число равно \( x — 1 = 8 — 1 = 7 \);

второе число равно \( x = 8 \);

третье число равно \( x + 1 = 8 + 1 = 9 \);

четвёртое число равно \( x + 2 = 8 + 2 = 10 \).

Итак, искомые четыре последовательных натуральных числа: 7, 8, 9 и 10.