ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, тогда другая сторона равна \( 60 : 2 — x = 30 — x \) см. Площадь прямоугольника равна \( x(30 — x) \) см².

Если одну его сторону уменьшить на 5 см, то она станет \( (x — 5) \) см;
а другую — увеличить на 3 см, то она станет \( (30 — x + 3) = 33 — x \) см. Площадь станет равной \( (x — 5)(33 — x) \) см², что на 21 см² меньше площади данного прямоугольника.

Составим уравнение:

\( x(30 — x) — (x — 5)(33 — x) = 21 \)

\( 30x — x^{2} — (33x — x^{2} — 165 + 5x) = 21 \)

\( 30x — x^{2} + x^{2} — 38x + 165 = 21 \)

\( -8x = 21 — 165 \)

\( -8x = -144 \)

\( x = 18 \) (см) — одна сторона прямоугольника.

\( 30 — x = 30 — 18 = 12 \) (см) — другая сторона прямоугольника.

Ответ: 18 см и 12 см.

Обозначим стороны прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см.

Периметр прямоугольника равен 60 см, следовательно, сумма длин всех сторон равна 60 см.

Так как периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(a + b) \), то получаем:

\( 2(x + y) = 60 \).

Разделим обе части уравнения на 2.

\( x + y = 30 \).

Выразим вторую сторону прямоугольника через \( x \).

\( y = 30 — x \).

Таким образом, стороны прямоугольника равны \( x \) см и \( 30 — x \) см.

Найдем площадь исходного прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S_{1} = x(30 — x) \).

По условию задачи одну сторону уменьшают на 5 см.

Тогда уменьшенная сторона равна \( x — 5 \) см.

Другую сторону увеличивают на 3 см.

Увеличенная сторона равна \( (30 — x) + 3 = 33 — x \) см.

Найдем площадь нового прямоугольника.

\( S_{2} = (x — 5)(33 — x) \).

По условию задачи площадь уменьшилась на 21 см\(^{2}\).

Это означает, что разность площадей равна 21:

\( x(30 — x) — (x — 5)(33 — x) = 21 \).

Раскроем скобки в первом произведении.

\( x(30 — x) = 30x — x^{2} \).

Раскроем скобки во втором произведении.

\( (x — 5)(33 — x) = 33x — x^{2} — 165 + 5x \).

Приведем подобные слагаемые.

\( (x — 5)(33 — x) = 38x — x^{2} — 165 \).

Подставим полученные выражения в уравнение.

\( 30x — x^{2} — (38x — x^{2} — 165) = 21 \).

Раскроем скобки, учитывая знак минус.

\( 30x — x^{2} — 38x + x^{2} + 165 = 21 \).

Сократим одинаковые слагаемые.

\( -8x + 165 = 21 \).

Перенесем 165 в правую часть уравнения.

\( -8x = 21 — 165 \).

\( -8x = -144 \).

Разделим обе части уравнения на -8.

\( x = \frac{-144}{-8} = 18 \).

Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 18 см.

Найдем вторую сторону.

\( 30 — x = 30 — 18 = 12 \).

Вторая сторона прямоугольника равна 12 см.

Проверим выполнение условий задачи.

Периметр прямоугольника:

\( 2(18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60 \) см.

Исходная площадь:

\( 18 \cdot 12 = 216 \) см\(^{2}\).

Новая площадь:

\( (18 — 5)(12 + 3) = 13 \cdot 15 = 195 \) см\(^{2}\).

Разность площадей:

\( 216 — 195 = 21 \) см\(^{2}\).

Все условия задачи выполняются.

Стороны прямоугольника равны 18 см и 12 см.