ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите тождество:

1) \( x^{2} — 8x + 7 = (x — 1)(x — 7) \)

2) \( y^{2}(y — 7)(y + 2) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \)

3) \( a^{3} — 8 = (a — 2)(a^{2} + 2a + 4) \)

4) \( (a — 1)(a + 1)(a^{2} + 1) = a^{4} — 1 \)

5) \( (a^{4} — a^{2} + 1)(a^{4} + a^{2} + 1) = a^{8} + a^{4} + 1 \)

1) \( x^{2} — 8x + 7 = (x — 1)(x — 7) \)

\( x^{2} — 8x + 7 = x^{2} — 7x — x + 7 \)

\( x^{2} — 8x + 7 = x^{2} — 8x + 7 \) → что и требовалось доказать.

2) \( y^{2}(y — 7)(y + 2) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \)

\( y^{2}(y^{2} + 2y — 7y — 14) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \)

\( y^{2}(y^{2} — 5y — 14) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \)

\( y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \) → что и требовалось доказать.

3) \( a^{3} — 8 = (a — 2)(a^{2} + 2a + 4) \)

\( a^{3} — 8 = a^{3} + 2a^{2} + 4a — 2a^{2} — 4a — 8 \)

\( a^{3} — 8 = a^{3} — 8 \) → что и требовалось доказать.

4) \( (a — 1)(a + 1)(a^{2} + 1) = a^{4} — 1 \)

\( (a^{2} + a — a — 1)(a^{2} + 1) = a^{4} — 1 \)

\( (a^{2} — 1)(a^{2} + 1) = a^{4} — 1 \)

\( a^{4} + a^{2} — a^{2} — 1 = a^{4} — 1 \)

\( a^{4} — 1 = a^{4} — 1 \) → что и требовалось доказать.

5) \( (a^{4} — a^{2} + 1)(a^{4} + a^{2} + 1) = a^{8} + a^{4} + 1 \)

\( a^{8} + a^{6} + a^{4} — a^{6} — a^{4} — a^{2} + a^{4} + a^{2} + 1 = a^{8} + a^{4} + 1 \)

\( a^{8} + a^{4} + 1 = a^{8} + a^{4} + 1 \) → что и требовалось доказать.

Докажем каждое тождество по отдельности, последовательно преобразуя одну из его частей и показывая, что она совпадает с другой частью.

1) Докажем тождество \( x^{2} — 8x + 7 = (x — 1)(x — 7) \).

Рассмотрим правую часть тождества.

\( (x — 1)(x — 7) \).

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения.

\( (x — 1)(x — 7) = x \cdot x — 7x — x + 7 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( x^{2} — 8x + 7 \).

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью тождества.

\( x^{2} — 8x + 7 = x^{2} — 8x + 7 \), что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество \( y^{2}(y — 7)(y + 2) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \).

Рассмотрим левую часть тождества.

\( y^{2}(y — 7)(y + 2) \).

Сначала перемножим выражения в скобках.

\( (y — 7)(y + 2) = y^{2} + 2y — 7y — 14 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( y^{2} — 5y — 14 \).

Теперь умножим полученный многочлен на \( y^{2} \).

\( y^{2}(y^{2} — 5y — 14) = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \).

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества.

\( y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} = y^{4} — 5y^{3} — 14y^{2} \), что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество \( a^{3} — 8 = (a — 2)(a^{2} + 2a + 4) \).

Рассмотрим правую часть тождества.

\( (a — 2)(a^{2} + 2a + 4) \).

Раскроем скобки.

\( a(a^{2} + 2a + 4) — 2(a^{2} + 2a + 4) \).

\( a^{3} + 2a^{2} + 4a — 2a^{2} — 4a — 8 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( a^{3} — 8 \).

Левая и правая части тождества совпадают.

\( a^{3} — 8 = a^{3} — 8 \), что и требовалось доказать.

4) Докажем тождество \( (a — 1)(a + 1)(a^{2} + 1) = a^{4} — 1 \).

Рассмотрим левую часть тождества.

\( (a — 1)(a + 1)(a^{2} + 1) \).

Сначала перемножим первые два множителя.

\( (a — 1)(a + 1) = a^{2} — 1 \).

Теперь умножим результат на \( a^{2} + 1 \).

\( (a^{2} — 1)(a^{2} + 1) \).

Раскроем скобки.

\( a^{4} + a^{2} — a^{2} — 1 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( a^{4} — 1 \).

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества.

\( a^{4} — 1 = a^{4} — 1 \), что и требовалось доказать.

5) Докажем тождество \( (a^{4} — a^{2} + 1)(a^{4} + a^{2} + 1) = a^{8} + a^{4} + 1 \).

Рассмотрим левую часть тождества.

\( (a^{4} — a^{2} + 1)(a^{4} + a^{2} + 1) \).

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.

\( a^{4}(a^{4} + a^{2} + 1) — a^{2}(a^{4} + a^{2} + 1) + 1(a^{4} + a^{2} + 1) \).

\( a^{8} + a^{6} + a^{4} — a^{6} — a^{4} — a^{2} + a^{4} + a^{2} + 1 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( a^{8} + a^{4} + 1 \).

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества.

\( a^{8} + a^{4} + 1 = a^{8} + a^{4} + 1 \), что и требовалось доказать.