ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выбрали некоторые четыре последовательных натуральных числа. Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвёртого от выбора чисел?

Пусть выбрали четыре последовательных натуральных числа \( (n — 1) \), \( n \), \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \).

Проверим, зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвертого от выбора чисел:

\( n(n + 1) — (n — 1)(n + 2) = n^{2} + n — (n^{2} + 2n — n — 2) = \)

\( = n^{2} + n — n^{2} — n + 2 = 2 \) → значение выражения не зависит от значения переменной, значит, разность данных произведений не зависит от выбора чисел.

Ответ: не зависит.

Рассмотрим четыре последовательных натуральных числа.

Обозначим второе из этих чисел через \( n \).

Тогда первое число равно \( n — 1 \), третье число равно \( n + 1 \), а четвертое число равно \( n + 2 \).

Таким образом, выбраны числа \( (n — 1) \), \( n \), \( (n + 1) \) и \( (n + 2) \).

Найдем произведение второго и третьего чисел.

\( n(n + 1) \).

Раскроем скобки.

\( n(n + 1) = n^{2} + n \).

Теперь найдем произведение первого и четвертого чисел.

\( (n — 1)(n + 2) \).

Раскроем скобки.

\( (n — 1)(n + 2) = n^{2} + 2n — n — 2 \).

Приведем подобные слагаемые.

\( (n — 1)(n + 2) = n^{2} + n — 2 \).

Найдем разность произведения второго и третьего чисел и произведения первого и четвертого чисел.

\( n(n + 1) — (n — 1)(n + 2) \).

Подставим найденные выражения.

\( (n^{2} + n) — (n^{2} + n — 2) \).

Раскроем скобки и выполним вычитание.

\( n^{2} + n — n^{2} — n + 2 \).

Сократим одинаковые слагаемые.

\( 2 \).

Полученное значение не содержит переменной \( n \).

Следовательно, разность произведения второго и третьего чисел и произведения первого и четвертого чисел не зависит от выбора четырех последовательных натуральных чисел.

Ответ: не зависит.