ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab \) делится нацело на 10 независимо от значений а и b.

\( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab = (10a + b)(10b + a) — ab = 10ab + 10a^{2} + 10b^{2} + \)

\( + ab — ab = 10a^{2} + 100ab + 10b^{2} = 10(a^{2} + 10ab + b^{2}) \) → делится нацело на 10 независимо от значений \( a \) и \( b \).

Рассмотрим выражение \( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab \).

Докажем, что его значение делится нацело на 10 независимо от значений цифр \( a \) и \( b \).

Поясним обозначения.

Запись \( \overline{ab} \) означает двузначное число, составленное из цифр \( a \) и \( b \), где \( a \) — цифра десятков, а \( b \) — цифра единиц.

Такое число можно записать в виде:

\( \overline{ab} = 10a + b \).

Аналогично, число \( \overline{ba} \) представляется в виде:

\( \overline{ba} = 10b + a \).

Подставим эти выражения в исходное выражение.

\( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab = (10a + b)(10b + a) — ab \).

Раскроем скобки в произведении.

\( (10a + b)(10b + a) = 10a \cdot 10b + 10a \cdot a + b \cdot 10b + b \cdot a \).

\( = 100ab + 10a^{2} + 10b^{2} + ab \).

Подставим полученное выражение обратно.

\( 100ab + 10a^{2} + 10b^{2} + ab — ab \).

Сократим одинаковые слагаемые.

\( ab — ab = 0 \).

В результате остается:

\( 10a^{2} + 100ab + 10b^{2} \).

Вынесем общий множитель 10.

\( 10(a^{2} + 10ab + b^{2}) \).

Полученное выражение представлено в виде произведения числа 10 и целого выражения.

Следовательно, значение выражения \( \overline{ab} \cdot \overline{ba} — ab \) делится нацело на 10 при любых допустимых значениях цифр \( a \) и \( b \).

Что и требовалось доказать.