ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Остаток при делении натурального числа а на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел а и b на 8 равен 5.

Пусть \( a = 8n + 3 \) и \( b = 8m + 7 \), где \( m \) и \( n \) — натуральные числа.

Тогда:

\( ab = (8n + 3)(8m + 7) = 64mn + 56n + 24m + 21 = \)

\( = 64mn + 56n + 24m + 16 + 5 = 8 \cdot (8mn + 7n + 3m + 2) + 5 \) → остаток при делении на 8 равен 5.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим натуральные числа \( a \) и \( b \).

По условию задачи остаток при делении числа \( a \) на 8 равен 3.

Это означает, что число \( a \) можно представить в виде:

\( a = 8n + 3 \), где \( n \) — натуральное число.

Аналогично, по условию задачи остаток при делении числа \( b \) на 8 равен 7.

Следовательно, число \( b \) можно представить в виде:

\( b = 8m + 7 \), где \( m \) — натуральное число.

Найдем произведение чисел \( a \) и \( b \).

\( ab = (8n + 3)(8m + 7) \).

Раскроем скобки в произведении.

\( (8n + 3)(8m + 7) = 8n \cdot 8m + 8n \cdot 7 + 3 \cdot 8m + 3 \cdot 7 \).

\( = 64mn + 56n + 24m + 21 \).

Разделим полученное выражение на части, кратные 8, и остаток.

\( 64mn + 56n + 24m + 21 = 64mn + 56n + 24m + 16 + 5 \).

Вынесем множитель 8 из слагаемых, кратных 8.

\( 64mn + 56n + 24m + 16 = 8(8mn + 7n + 3m + 2) \).

Тогда произведение принимает вид:

\( ab = 8(8mn + 7n + 3m + 2) + 5 \).

Выражение \( 8mn + 7n + 3m + 2 \) является целым числом при любых натуральных значениях \( m \) и \( n \).

Следовательно, при делении произведения \( ab \) на 8 получается остаток 5.

Что и требовалось доказать.