ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

Пусть \( m = 11a + 9 \) и \( n = 11b + 5 \), где \( a \) и \( b \) — натуральные числа.

Тогда:

\( mn = (11a + 9)(11b + 5) = 121ab + 55a + 99b + 45 = \)

\( = 121ab + 55a + 99b + 44 + 1 = 11 \cdot (11ab + 5a + 9b + 4) + 1 \) → остаток при делении на 11 равен 1.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим натуральные числа \( m \) и \( n \).

По условию задачи остаток при делении числа \( m \) на 11 равен 9.

Это означает, что число \( m \) можно представить в виде:

\( m = 11a + 9 \), где \( a \) — натуральное число.

Аналогично, по условию задачи остаток при делении числа \( n \) на 11 равен 5.

Следовательно, число \( n \) можно представить в виде:

\( n = 11b + 5 \), где \( b \) — натуральное число.

Найдем произведение чисел \( m \) и \( n \).

\( mn = (11a + 9)(11b + 5) \).

Раскроем скобки, перемножая каждый член первого множителя на каждый член второго.

\( (11a + 9)(11b + 5) = 11a \cdot 11b + 11a \cdot 5 + 9 \cdot 11b + 9 \cdot 5 \).

\( = 121ab + 55a + 99b + 45 \).

Выделим в этом выражении слагаемые, кратные 11.

\( 121ab = 11 \cdot 11ab \).

\( 55a = 11 \cdot 5a \).

\( 99b = 11 \cdot 9b \).

Оставшееся число 45 представим в виде суммы, удобной для выделения множителя 11.

\( 45 = 44 + 1 = 11 \cdot 4 + 1 \).

Подставим это разложение в выражение для произведения.

\( mn = 11 \cdot 11ab + 11 \cdot 5a + 11 \cdot 9b + 11 \cdot 4 + 1 \).

Вынесем общий множитель 11.

\( mn = 11(11ab + 5a + 9b + 4) + 1 \).

Выражение \( 11ab + 5a + 9b + 4 \) является целым числом при любых натуральных значениях \( a \) и \( b \).

Следовательно, произведение \( mn \) при делении на 11 дает остаток 1.

Что и требовалось доказать.