ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если ab + bc + ac = 0, то (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a² + b² + c².

Если \( ab + bc + ac = 0 \), то

\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a^{2} + b^{2} + c^{2} \)

\( a^{2} — ac — ab + bc + b^{2} — ab — bc + ac + c^{2} — bc — ac + ab = a^{2} + b^{2} + c^{2} \)

\( a^{2} — ab + b^{2} — bc + c^{2} — ac = a^{2} + b^{2} + c^{2} \)

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} — (ab + bc + ac) = a^{2} + b^{2} + c^{2} \)

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} — 0 = a^{2} + b^{2} + c^{2} \)

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} \) → что и требовалось доказать.

Докажем данное утверждение при условии \( ab + bc + ac = 0 \).

Рассмотрим выражение:

\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) \).

Раскроем скобки в каждом произведении отдельно.

Первое произведение:

\( (a — b)(a — c) = a^{2} — ac — ab + bc \).

Второе произведение:

\( (b — c)(b — a) = b^{2} — ab — bc + ac \).

Третье произведение:

\( (c — a)(c — b) = c^{2} — bc — ac + ab \).

Сложим полученные выражения.

\( a^{2} — ac — ab + bc + b^{2} — ab — bc + ac + c^{2} — bc — ac + ab \).

Сгруппируем одночлены.

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — ab + ab — bc — bc + bc — ac — ac + ac \).

Приведем подобные слагаемые.

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} — (ab + bc + ac) \).

По условию задачи:

\( ab + bc + ac = 0 \).

Подставим это значение в полученное выражение.

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} — 0 \).

В результате получаем:

\( a^{2} + b^{2} + c^{2} \).

Таким образом, при выполнении условия \( ab + bc + ac = 0 \) справедливо равенство

\( (a — b)(a — c) + (b — c)(b — a) + (c — a)(c — b) = a^{2} + b^{2} + c^{2} \).

Что и требовалось доказать.