Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите тождество: (a + b + c)(a² + b² + c² — ab — bc — ac) = a³ + b³ + c³ — 3abc
\( (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc. \)
Преобразуем левую часть равенства:
\( (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{3} + ab^{2} + ac^{2} — a^{2}b — \)
\( — abc — a^{2}c + a^{2}b + b^{3} + bc^{2} — ab^{2} — b^{2}c — abc + a^{2}c + b^{2}c + c^{3} — \)
\( — abc — bc^{2} — ac^{2} = a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc. \)
Значит,
\( a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc = a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc \) → что и требовалось доказать.
Докажем тождество:
\( (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc \).
Рассмотрим левую часть тождества.
\( (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) \).
Раскроем скобки, умножая каждый одночлен первого множителя на каждый одночлен второго множителя.
Сначала умножим \( a \) на выражение во второй скобке:
\( a(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{3} + ab^{2} + ac^{2} — a^{2}b — abc — a^{2}c \).
Теперь умножим \( b \) на выражение во второй скобке:
\( b(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{2}b + b^{3} + bc^{2} — ab^{2} — b^{2}c — abc \).
Затем умножим \( c \) на выражение во второй скобке:
\( c(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{2}c + b^{2}c + c^{3} — abc — bc^{2} — ac^{2} \).
Сложим все полученные выражения.
\( a^{3} + ab^{2} + ac^{2} — a^{2}b — abc — a^{2}c + a^{2}b + b^{3} + bc^{2} — ab^{2} -\)
\(- b^{2}c — abc + a^{2}c + b^{2}c + c^{3} — abc — bc^{2} — ac^{2} \).
Сгруппируем и сократим противоположные слагаемые.
\( ab^{2} — ab^{2} = 0 \).
\( ac^{2} — ac^{2} = 0 \).
\( a^{2}b — a^{2}b = 0 \).
\( a^{2}c — a^{2}c = 0 \).
\( bc^{2} — bc^{2} = 0 \).
\( b^{2}c — b^{2}c = 0 \).
Остаются следующие слагаемые:
\( a^{3} + b^{3} + c^{3} — abc — abc — abc \).
Сложим одинаковые слагаемые с \( abc \).
\( -abc — abc — abc = -3abc \).
В результате получаем:
\( a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc \).
Это совпадает с правой частью тождества.
Следовательно, тождество
\( (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} — ab — bc — ac) = a^{3} + b^{3} + c^{3} — 3abc \)
доказано.
Что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!