Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите тождество:
1) \( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \)
2) \( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \), где n — натуральное число.
1) \( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \)
\( (3 \cdot 3 \cdot 2)^{16n} = (2 \cdot 2 \cdot 3)^{8n} \cdot (3^{2})^{12n} \)
\( (3^{2})^{16n} \cdot 2^{16n} = (2^{2})^{8n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} \)
\( 3^{32n} \cdot 2^{16n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n+24n} \)
\( 3^{32n} \cdot 2^{16n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} \) → что и требовалось доказать.
2) \( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \)
\( (3 \cdot 5 \cdot 5)^{8n} = (3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5)^{4n} \cdot (5^{4})^{2n} \)
\( 3^{8n} \cdot (5^{2})^{8n} = (3^{2})^{4n} \cdot (5^{2})^{4n} \cdot 5^{8n} \)
\( 3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} \)
\( 3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n+8n} \)
\( 3^{8n} \cdot 5^{16n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} \) → что и требовалось доказать.
1) Докажем тождество:
\( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \).
Разложим основания степеней на простые множители.
\( 18 = 2 \cdot 3^{2} \), \( 12 = 2^{2} \cdot 3 \), \( 9 = 3^{2} \).
Подставим эти разложения в исходное выражение.
Левая часть:
\( 18^{16n} = (2 \cdot 3^{2})^{16n} \).
Используем правило степени произведения.
\( (2 \cdot 3^{2})^{16n} = 2^{16n} \cdot (3^{2})^{16n} \).
\( = 2^{16n} \cdot 3^{32n} \).
Теперь рассмотрим правую часть.
\( 12^{8n} \cdot 9^{12n} = (2^{2} \cdot 3)^{8n} \cdot (3^{2})^{12n} \).
Применим правило степени произведения.
\( (2^{2} \cdot 3)^{8n} = (2^{2})^{8n} \cdot 3^{8n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \).
\( (3^{2})^{12n} = 3^{24n} \).
Перемножим полученные выражения.
\( 12^{8n} \cdot 9^{12n} = 2^{16n} \cdot 3^{8n} \cdot 3^{24n} \).
Сложим показатели степеней при одинаковых основаниях.
\( 3^{8n} \cdot 3^{24n} = 3^{32n} \).
Следовательно,
\( 12^{8n} \cdot 9^{12n} = 2^{16n} \cdot 3^{32n} \).
Левая и правая части совпадают.
\( 18^{16n} = 12^{8n} \cdot 9^{12n} \), что и требовалось доказать.
2) Докажем тождество:
\( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \).
Разложим основания на простые множители.
\( 75 = 3 \cdot 5^{2} \), \( 225 = 3^{2} \cdot 5^{2} \), \( 625 = 5^{4} \).
Подставим разложения.
Левая часть:
\( 75^{8n} = (3 \cdot 5^{2})^{8n} \).
Применим правило степени произведения.
\( (3 \cdot 5^{2})^{8n} = 3^{8n} \cdot (5^{2})^{8n} \).
\( = 3^{8n} \cdot 5^{16n} \).
Теперь рассмотрим правую часть.
\( 225^{4n} \cdot 625^{2n} = (3^{2} \cdot 5^{2})^{4n} \cdot (5^{4})^{2n} \).
Раскроем степени.
\( (3^{2} \cdot 5^{2})^{4n} = (3^{2})^{4n} \cdot (5^{2})^{4n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \).
\( (5^{4})^{2n} = 5^{8n} \).
Перемножим полученные выражения.
\( 225^{4n} \cdot 625^{2n} = 3^{8n} \cdot 5^{8n} \cdot 5^{8n} \).
Сложим показатели степеней при основании 5.
\( 5^{8n} \cdot 5^{8n} = 5^{16n} \).
Следовательно,
\( 225^{4n} \cdot 625^{2n} = 3^{8n} \cdot 5^{16n} \).
Левая и правая части совпадают.
\( 75^{8n} = 225^{4n} \cdot 625^{2n} \), что и требовалось доказать.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!