ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 12.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните умножение:

1) \( (x + 2)(x — 1)(x — 4) \)

2) \( (2x + 1)(x + 5)(x — 6) \)

3) \( (x^{2} — 2x + 3)(x^{2} + 2x — 3) \)

4) \( (a + 2b — c)(a — 3b + 2c) \)

5) \( (a + b)(a^{3} — a^{2}b + ab^{2} — b^{3}) \)

6) \( (x — 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) \)

1) \( (x + 2)(x — 1)(x — 4) = (x + 2)(x^{2} — 4x — x + 4) = \)

\( = (x + 2)(x^{2} — 5x + 4) = x^{3} — 5x^{2} + 4x + 2x^{2} — 10x + 8 = \)

\( = x^{3} — 3x^{2} — 6x + 8; \)

2) \( (2x + 1)(x + 5)(x — 6) = (2x + 1)(x^{2} — 6x + 5x — 30) = \)

\( = (2x + 1)(x^{2} — x — 30) = 2x^{3} — 2x^{2} — 60x + x^{2} — x — 30 = \)

\( = 2x^{3} — x^{2} — 61x — 30; \)

3) \( (x^{2} — 2x + 3)(x^{2} + 2x — 3) = x^{4} + 2x^{3} — 3x^{2} — 2x^{3} — 4x^{2} + 6x + \)

\( + 3x^{2} + 6x — 9 = x^{4} — 4x^{2} + 12x — 9; \)

4) \( (a + 2b — c)(a — 3b + 2c) = a^{2} — 3ab + 2ac + 2ab — 6b^{2} + 4bc — \)

\( — ac + 3bc — 2c^{2} = a^{2} — 6b^{2} — 2c^{2} — ab + ac + 7bc; \)

5) \( (a + b)(a^{3} — a^{2}b + ab^{2} — b^{3}) = a^{4} — a^{3}b + a^{2}b^{2} — ab^{3} + \)

\( + a^{3}b — a^{2}b^{2} + ab^{3} — b^{4} = a^{4} — b^{4}; \)

6) \( (x — 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x — \)

\( — x^{4} — x^{3} — x^{2} — x — 1 = x^{5} — 1. \)

1) \( (x + 2)(x — 1)(x — 4) \)

Сначала перемножим вторую и третью скобки:

\( (x — 1)(x — 4) = x \cdot x — x \cdot 4 — 1 \cdot x + 1 \cdot 4 = x^{2} — 4x — x + 4 \).

Приведём подобные слагаемые:

\( x^{2} — 5x + 4 \).

Теперь умножим полученный многочлен на \( (x + 2) \):

\( x \cdot x^{2} = x^{3} \), \( x \cdot (-5x) = -5x^{2} \), \( x \cdot 4 = 4x \).

\( 2 \cdot x^{2} = 2x^{2} \), \( 2 \cdot (-5x) = -10x \), \( 2 \cdot 4 = 8 \).

Складываем все слагаемые:

\( x^{3} — 5x^{2} + 4x + 2x^{2} — 10x + 8 \).

Приводим подобные:

\( x^{3} — 3x^{2} — 6x + 8 \).

2) \( (2x + 1)(x + 5)(x — 6) \)

Сначала перемножим вторую и третью скобки:

\( (x + 5)(x — 6) = x^{2} — 6x + 5x — 30 = x^{2} — x — 30 \).

Теперь умножим полученный многочлен на \( (2x + 1) \):

\( 2x \cdot x^{2} = 2x^{3} \), \( 2x \cdot (-x) = -2x^{2} \), \( 2x \cdot (-30) = -60x \).

\( 1 \cdot x^{2} = x^{2} \), \( 1 \cdot (-x) = -x \), \( 1 \cdot (-30) = -30 \).

Складываем:

\( 2x^{3} — 2x^{2} — 60x + x^{2} — x — 30 \).

Приводим подобные слагаемые:

\( 2x^{3} — x^{2} — 61x — 30 \).

3) \( (x^{2} — 2x + 3)(x^{2} + 2x — 3) \)

Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:

\( x^{2} \cdot x^{2} = x^{4} \), \( x^{2} \cdot 2x = 2x^{3} \), \( x^{2} \cdot (-3) = -3x^{2} \).

\( -2x \cdot x^{2} = -2x^{3} \), \( -2x \cdot 2x = -4x^{2} \), \( -2x \cdot (-3) = 6x \).

\( 3 \cdot x^{2} = 3x^{2} \), \( 3 \cdot 2x = 6x \), \( 3 \cdot (-3) = -9 \).

Складываем все слагаемые:

\( x^{4} + 2x^{3} — 3x^{2} — 2x^{3} — 4x^{2} + 6x + 3x^{2} + 6x — 9 \).

Приводим подобные:

\( x^{4} — 4x^{2} + 12x — 9 \).

4) \( (a + 2b — c)(a — 3b + 2c) \)

Перемножим все члены:

\( a \cdot a = a^{2} \), \( a \cdot (-3b) = -3ab \), \( a \cdot 2c = 2ac \).

\( 2b \cdot a = 2ab \), \( 2b \cdot (-3b) = -6b^{2} \), \( 2b \cdot 2c = 4bc \).

\( -c \cdot a = -ac \), \( -c \cdot (-3b) = 3bc \), \( -c \cdot 2c = -2c^{2} \).

Складываем:

\( a^{2} — 3ab + 2ac + 2ab — 6b^{2} + 4bc — ac + 3bc — 2c^{2} \).

Приводим подобные:

\( a^{2} — ab + ac + 7bc — 6b^{2} — 2c^{2} \).

5) \( (a + b)(a^{3} — a^{2}b + ab^{2} — b^{3}) \)

Умножаем \( a \) на каждый член второй скобки:

\( a^{4} — a^{3}b + a^{2}b^{2} — ab^{3} \).

Умножаем \( b \) на каждый член второй скобки:

\( a^{3}b — a^{2}b^{2} + ab^{3} — b^{4} \).

Складываем:

\( a^{4} — a^{3}b + a^{2}b^{2} — ab^{3} + a^{3}b — a^{2}b^{2} + ab^{3} — b^{4} \).

Приводим подобные:

\( a^{4} — b^{4} \).

6) \( (x — 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) \)

Умножаем \( x \) на каждый член второй скобки:

\( x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x \).

Умножаем \( -1 \) на каждый член второй скобки:

\( -x^{4} — x^{3} — x^{2} — x — 1 \).

Складываем:

\( x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x — x^{4} — x^{3} — x^{2} — x — 1 \).

Приводим подобные:

\( x^{5} — 1 \).