ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \(19^{5} + 19^{4}\) кратно 20;

2) \(8^{10} — 8^{9} — 8^{8}\) кратно 11;

3) \(8^{7} + 2^{15}\) кратно 5;

4) \(2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}\) кратно 10;

5) \(27^{4} — 9^{5}\) кратно 24;

6) \(12^{4} — 4^{6}\) кратно 130.

1) \(19^{5} + 19^{4} = 19^{4} \cdot (19 + 1) = 19^{4} \cdot 20\) → кратно 20;

2) \(8^{10} — 8^{9} — 8^{8} = 8^{8} \cdot (8^{2} — 8 — 1) = 8^{8} \cdot (64 — 9) = 8^{8} \cdot 55 = \)

\(= 8^{8} \cdot 5 \cdot 11\) → кратно 11;

3) \(8^{7} + 2^{15} = (2^{3})^{7} + 2^{15} = 2^{21} + 2^{15} = 2^{15} \cdot (2^{6} + 1) = \)

\(= 2^{15} \cdot (64 + 1) = 2^{15} \cdot 65 = 2^{15} \cdot 13 \cdot 5\) → кратно 5;

4) \(2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004} = 3^{2004} \cdot (2 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 1) = \)

\(= 3^{2004} \cdot (2 \cdot 9 + 15 + 7) = 3^{2004} \cdot (18 + 22) = 3^{2004} \cdot 40 = \)

\(= 3^{2004} \cdot 4 \cdot 10\) → кратно 10;

5) \(27^{4} — 9^{5} = (3^{3})^{4} — (3^{2})^{5} = 3^{12} — 3^{10} = 3^{10} \cdot (3^{2} — 1) = \)

\(= 3^{10} \cdot (9 — 1) = 3^{10} \cdot 8 = 3^{9} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{9} \cdot 24\) → кратно 24;

6) \(12^{4} — 4^{6} = (2^{2} \cdot 3)^{4} — (2^{2})^{6} = 2^{8} \cdot 3^{4} — 2^{12} = 2^{8} \cdot (3^{4} — 2^{4}) = \)

\(= 2^{8} \cdot (81 — 16) = 2^{8} \cdot 65 = 2^{7} \cdot 2 \cdot 65 = 2^{7} \cdot 130\) → кратно 130.

1) \(19^{5} + 19^{4}\)

Вынесем общий множитель \(19^{4}\):

\(19^{5} + 19^{4} = 19^{4}(19 + 1)\)

Вычислим сумму в скобках:

\(19 + 1 = 20\)

Получаем:

\(19^{4} \cdot 20\)

Так как произведение содержит множитель \(20\), данное выражение кратно \(20\).

2) \(8^{10} — 8^{9} — 8^{8}\)

Вынесем общий множитель \(8^{8}\):

\(8^{10} — 8^{9} — 8^{8} = 8^{8}(8^{2} — 8 — 1)\)

Вычислим выражение в скобках:

\(8^{2} = 64\)

\(64 — 8 — 1 = 55\)

Тогда:

\(8^{8} \cdot 55 = 8^{8} \cdot 5 \cdot 11\)

Так как произведение содержит множитель \(11\), выражение кратно \(11\).

3) \(8^{7} + 2^{15}\)

Представим число \(8\) в виде степени двойки:

\(8 = 2^{3}\)

\(8^{7} = (2^{3})^{7} = 2^{21}\)

Тогда выражение принимает вид:

\(2^{21} + 2^{15}\)

Вынесем общий множитель \(2^{15}\):

\(2^{15}(2^{6} + 1)\)

Вычислим значение в скобках:

\(2^{6} = 64\)

\(64 + 1 = 65 = 5 \cdot 13\)

Получаем:

\(2^{15} \cdot 65 = 2^{15} \cdot 5 \cdot 13\)

Следовательно, выражение кратно \(5\).

4) \(2 \cdot 3^{2006} + 5 \cdot 3^{2005} + 7 \cdot 3^{2004}\)

Вынесем общий множитель \(3^{2004}\):

\(3^{2004}(2 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 7)\)

Вычислим степени и сумму:

\(2 \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18\)

\(5 \cdot 3 = 15\)

\(18 + 15 + 7 = 40\)

Получаем:

\(3^{2004} \cdot 40 = 3^{2004} \cdot 4 \cdot 10\)

Так как выражение содержит множитель \(10\), оно кратно \(10\).

5) \(27^{4} — 9^{5}\)

Представим числа в виде степеней тройки:

\(27 = 3^{3}\), \(9 = 3^{2}\)

\((3^{3})^{4} — (3^{2})^{5} = 3^{12} — 3^{10}\)

Вынесем общий множитель \(3^{10}\):

\(3^{10}(3^{2} — 1)\)

Вычислим выражение в скобках:

\(3^{2} = 9\)

\(9 — 1 = 8\)

Получаем:

\(3^{10} \cdot 8 = 3^{9} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{9} \cdot 24\)

Следовательно, выражение кратно \(24\).

6) \(12^{4} — 4^{6}\)

Разложим числа на простые множители:

\(12 = 2^{2} \cdot 3\), \(4 = 2^{2}\)

\((2^{2} \cdot 3)^{4} — (2^{2})^{6} = 2^{8} \cdot 3^{4} — 2^{12}\)

Вынесем общий множитель \(2^{8}\):

\(2^{8}(3^{4} — 2^{4})\)

Вычислим значения в скобках:

\(3^{4} = 81\)

\(2^{4} = 16\)

\(81 — 16 = 65\)

Получаем:

\(2^{8} \cdot 65 = 2^{7} \cdot 2 \cdot 65 = 2^{7} \cdot 130\)

Следовательно, выражение кратно \(130\).