ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \(25^{25} — 25^{24}\) делится нацело на 12;

2) \(16^{4} + 8^{5} — 4^{7}\) делится нацело на 10;

3) \(36^{5} + 6^{9}\) делится нацело на 42;

4) \(10^{5} — 5^{7}\) делится нацело на 7.

1) \(25^{25} — 25^{24} = 25^{24} \cdot (25 — 1) = 25^{24} \cdot 24 = 25^{24} \cdot 2 \cdot 12\) → делится нацело на 12;

2) \(16^{4} + 8^{5} — 4^{7} = (2^{4})^{4} + (2^{3})^{5} — (2^{2})^{7} = 2^{16} + 2^{15} — 2^{14} = \)

\(= 2^{14} \cdot (2^{2} + 2 — 1) = 2^{14} \cdot (4 + 1) = 2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = \)

\(= 2^{13} \cdot 10\) → делится нацело на 10;

3) \(36^{5} + 6^{9} = (6^{2})^{5} + 6^{9} = 6^{10} + 6^{9} = 6^{9} \cdot (6 + 1) = \)

\(= 6^{9} \cdot 7 = 6^{8} \cdot 6 \cdot 7 = 6^{8} \cdot 42\) → делится нацело на 42;

4) \(10^{5} — 5^{7} = (2 \cdot 5)^{5} — 5^{7} = 2^{5} \cdot 5^{5} — 5^{7} = 5^{5} \cdot (2^{5} — 5^{2}) = \)

\(= 5^{5} \cdot (32 — 25) = 5^{5} \cdot 7\) → делится нацело на 7.

1) \(25^{25} — 25^{24}\)

Вынесем общий множитель \(25^{24}\):

\(25^{25} — 25^{24} = 25^{24}(25 — 1)\)

Вычислим разность в скобках:

\(25 — 1 = 24\)

Получаем:

\(25^{24} \cdot 24\)

Число \(24 = 2 \cdot 12\), следовательно, произведение содержит множитель \(12\).

Таким образом, выражение \(25^{25} — 25^{24}\) делится нацело на \(12\).

2) \(16^{4} + 8^{5} — 4^{7}\)

Представим все числа в виде степеней двойки:

\(16 = 2^{4}\), \(8 = 2^{3}\), \(4 = 2^{2}\)

Тогда:

\((2^{4})^{4} + (2^{3})^{5} — (2^{2})^{7} = 2^{16} + 2^{15} — 2^{14}\)

Вынесем общий множитель \(2^{14}\):

\(2^{14}(2^{2} + 2 — 1)\)

Вычислим выражение в скобках:

\(2^{2} = 4\)

\(4 + 2 — 1 = 5\)

Получаем:

\(2^{14} \cdot 5 = 2^{13} \cdot 2 \cdot 5 = 2^{13} \cdot 10\)

Так как произведение содержит множитель \(10\), выражение делится нацело на \(10\).

3) \(36^{5} + 6^{9}\)

Представим число \(36\) в виде степени числа \(6\):

\(36 = 6^{2}\)

Тогда:

\((6^{2})^{5} + 6^{9} = 6^{10} + 6^{9}\)

Вынесем общий множитель \(6^{9}\):

\(6^{9}(6 + 1)\)

Вычислим сумму в скобках:

\(6 + 1 = 7\)

Получаем:

\(6^{9} \cdot 7 = 6^{8} \cdot 6 \cdot 7 = 6^{8} \cdot 42\)

Следовательно, выражение делится нацело на \(42\).

4) \(10^{5} — 5^{7}\)

Разложим число \(10\) на простые множители:

\(10 = 2 \cdot 5\)

Тогда:

\((2 \cdot 5)^{5} — 5^{7} = 2^{5} \cdot 5^{5} — 5^{7}\)

Вынесем общий множитель \(5^{5}\):

\(5^{5}(2^{5} — 5^{2})\)

Вычислим значения в скобках:

\(2^{5} = 32\)

\(5^{2} = 25\)

\(32 — 25 = 7\)

Получаем:

\(5^{5} \cdot 7\)

Так как произведение содержит множитель \(7\), выражение делится нацело на \(7\).