ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если:

1) \(a + b = 2\), то \(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = 0\);

2) \(3a + 4b = -2\), то \(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b = 24a^{2}b\);

3) \(a + b = c\), то \(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2} = 0\).

1) Если \(a + b = 2\), то \(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = 0.\)

\(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = ab(a + b — 2) = ab \cdot (2 — 2) = ab \cdot 0 = 0\) → что и требовалось доказать.

2) Если \(3a + 4b = -2\), то \(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b = 24a^{2}b.\)

\(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b = 4a^{2}b(3a + 4b + 8) = 4a^{2}b(-2 + 8) = \)

\(= 4a^{2}b \cdot 6 = 24a^{2}b\) → что и требовалось доказать.

3) Если \(a + b = c\), то \(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2} = 0.\)

\(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2} = a^{2}b^{3}c(a + b — c) = a^{2}b^{3}c(c — c) = \)

\(= a^{2}b^{3}c \cdot 0 = 0\) → что и требовалось доказать.

1) Пусть \(a + b = 2\). Докажем, что \(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = 0\).

Рассмотрим выражение \(a^{2}b + ab^{2} — 2ab\).

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(ab\). Вынесем его за скобки:

\(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = ab(a + b — 2)\)

По условию задачи \(a + b = 2\). Подставим это значение в полученное выражение:

\(ab(2 — 2)\)

\(2 — 2 = 0\)

Следовательно:

\(ab \cdot 0 = 0\)

Тем самым доказано, что при \(a + b = 2\) выполняется равенство \(a^{2}b + ab^{2} — 2ab = 0\).

2) Пусть \(3a + 4b = -2\). Докажем, что \(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b = 24a^{2}b\).

Рассмотрим левую часть равенства:

\(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b\)

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(4a^{2}b\). Вынесем его за скобки:

\(12a^{3}b + 16a^{2}b^{2} + 32a^{2}b = 4a^{2}b(3a + 4b + 8)\)

По условию задачи \(3a + 4b = -2\). Подставим это значение:

\(4a^{2}b(-2 + 8)\)

Вычислим сумму в скобках:

\(-2 + 8 = 6\)

Получаем:

\(4a^{2}b \cdot 6 = 24a^{2}b\)

Следовательно, равенство доказано.

3) Пусть \(a + b = c\). Докажем, что \(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2} = 0\).

Рассмотрим левую часть выражения:

\(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2}\)

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(a^{2}b^{3}c\). Вынесем его за скобки:

\(a^{2}b^{3}c(a + b — c)\)

По условию задачи \(a + b = c\). Подставим это значение:

\(a^{2}b^{3}c(c — c)\)

\(c — c = 0\)

Следовательно:

\(a^{2}b^{3}c \cdot 0 = 0\)

Тем самым доказано, что при \(a + b = c\) выполняется равенство \(a^{3}b^{3}c + a^{2}b^{4}c — a^{2}b^{3}c^{2} = 0\).