ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если:

1) \(a + b + c = 0\), то \(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3} = 0\)

2) \(a^{2} — b^{2} = 2ab + 1\), то \(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6} = a^{4}b^{4}\)

3) \(a — 2b = 3\), то \(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = 0\)

1) Если \(a + b + c = 0\), то \(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3} = 0.\)

\(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3} = a^{2}b^{3}c^{2}(a + b + c) = a^{2}b^{3}c^{2} \cdot 0 = 0\) → что и требовалось доказать.

2) Если \(a^{2} — b^{2} = 2ab + 1\), то \(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6} = a^{4}b^{4}.\)

\(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6} = a^{4}b^{4}(a^{2} — 2ab — b^{2}) = \)

\(= a^{4}b^{4}\left((a^{2} — b^{2}) — 2ab\right) = a^{4}b^{4}(2ab + 1 — 2ab) = a^{4}b^{4} \cdot 1 = a^{4}b^{4}\) → что и требовалось доказать.

3) Если \(a — 2b = 3\), то \(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = 0.\)

\(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = ab(2b — a + 3) = ab(-(a — 2b) + 3) = \)

\(= ab(-3 + 3) = ab \cdot 0 = 0\) → что и требовалось доказать.

1) Пусть \(a + b + c = 0\). Докажем, что \(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3} = 0\).

Рассмотрим выражение \(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3}\).

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(a^{2}b^{3}c^{2}\). Вынесем его за скобки:

\(a^{3}b^{3}c^{2} + a^{2}b^{4}c^{2} + a^{2}b^{3}c^{3} = a^{2}b^{3}c^{2}(a + b + c)\)

По условию \(a + b + c = 0\). Подставим это значение:

\(a^{2}b^{3}c^{2} \cdot 0 = 0\)

Следовательно, при \(a + b + c = 0\) данное равенство выполняется.

2) Пусть \(a^{2} — b^{2} = 2ab + 1\). Докажем, что \(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6} = a^{4}b^{4}\).

Рассмотрим левую часть равенства:

\(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6}\)

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(a^{4}b^{4}\). Вынесем его за скобки:

\(a^{6}b^{4} — 2a^{5}b^{5} — a^{4}b^{6} = a^{4}b^{4}(a^{2} — 2ab — b^{2})\)

Преобразуем выражение в скобках:

\(a^{2} — 2ab — b^{2} = (a^{2} — b^{2}) — 2ab\)

По условию \(a^{2} — b^{2} = 2ab + 1\). Подставим это значение:

\((2ab + 1) — 2ab = 1\)

Тогда получаем:

\(a^{4}b^{4} \cdot 1 = a^{4}b^{4}\)

Тем самым равенство доказано.

3) Пусть \(a — 2b = 3\). Докажем, что \(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = 0\).

Рассмотрим выражение \(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab\).

Во всех слагаемых присутствует общий множитель \(ab\). Вынесем его за скобки:

\(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = ab(2b — a + 3)\)

Преобразуем выражение в скобках:

\(2b — a + 3 = -(a — 2b) + 3\)

По условию \(a — 2b = 3\). Подставим это значение:

\(-3 + 3 = 0\)

Следовательно:

\(ab \cdot 0 = 0\)

Тем самым доказано, что при \(a — 2b = 3\) выполняется равенство \(2ab^{2} — a^{2}b + 3ab = 0\).