ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вынесите за скобки общий множитель (n — натуральное число):

1) \(a^{n+1} + a^{n}\)

2) \(b^{n} — b^{n-3}\)

3) \(c^{n+2} + c^{n-4}\)

4) \(d^{2n} — d^{n}\)

5) \(2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} — 5 \cdot 2^{n+1}\)

6) \(9^{n+1} + 3^{n+2}\)

7) \(49^{n+2} — 7^{n+3}\)

8) \(64^{n+2} — 32^{n+2} + 16^{n+2}\)

1) \(a^{n+1} + a^{n} = a^{n}(a + 1);\)

2) \(b^{n} — b^{n-3} = b^{n-3}(b^{3} — 1);\)

3) \(c^{n+2} + c^{n-4} = c^{n-4}(c^{6} + 1);\)

4) \(d^{2n} — d^{n} = d^{n}(d^{n} — 1);\)

5) \(2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} — 5 \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1}(2^{2} + 3 \cdot 2 — 5) = \)

\(= 2^{n+1}(4 + 6 — 5) = 2^{n+1} \cdot 5;\)

6) \(9^{n+1} + 3^{n+2} = (3^{2})^{n+1} + 3^{n+2} = 3^{2n+2} + 3^{n+2} = 3^{n+2}(3^{n} + 1);\)

7) \(49^{n+2} — 7^{n+3} = (7^{2})^{n+2} — 7^{n+3} = 7^{2n+4} — 7^{n+3} = 7^{n+3}(7^{n+1} — 1);\)

8) \(64^{n+2} — 32^{n+2} + 16^{n+2} = (2^{6})^{n+2} — (2^{5})^{n+2} + (2^{4})^{n+2} = \)

\(= 2^{6n+12} — 2^{5n+10} + 2^{4n+8} = 2^{4n+8}(2^{2n+4} — 2^{n+2} + 1).\)

1) Рассмотрим выражение \(a^{n+1} + a^{n}\).

Оба слагаемых содержат общий множитель \(a^{n}\).

Выносим \(a^{n}\) за скобки:

\(a^{n+1} + a^{n} = a^{n}(a + 1).\)

2) Рассмотрим выражение \(b^{n} — b^{n-3}\).

Минимальная степень переменной \(b\) равна \(n-3\).

Выносим \(b^{n-3}\) за скобки:

\(b^{n} — b^{n-3} = b^{n-3}(b^{3} — 1).\)

3) Рассмотрим выражение \(c^{n+2} + c^{n-4}\).

Общий множитель — \(c^{n-4}\), так как это наименьшая степень.

Выносим его за скобки:

\(c^{n+2} + c^{n-4} = c^{n-4}(c^{6} + 1).\)

4) Рассмотрим выражение \(d^{2n} — d^{n}\).

Общий множитель равен \(d^{n}\).

Выносим его за скобки:

\(d^{2n} — d^{n} = d^{n}(d^{n} — 1).\)

5) Рассмотрим выражение \(2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} — 5 \cdot 2^{n+1}\).

Все слагаемые содержат общий множитель \(2^{n+1}\).

Выносим его за скобки:

\(2^{n+3} + 3 \cdot 2^{n+2} — 5 \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1}(2^{2} + 3 \cdot 2 — 5).\)

Вычисляем выражение в скобках:

\(2^{2} + 3 \cdot 2 — 5 = 4 + 6 — 5 = 5.\)

Окончательно получаем:

\(2^{n+1} \cdot 5.\)

6) Рассмотрим выражение \(9^{n+1} + 3^{n+2}\).

Представим \(9\) в виде степени числа \(3\): \(9 = 3^{2}\).

\((3^{2})^{n+1} + 3^{n+2} = 3^{2n+2} + 3^{n+2}.\)

Общий множитель — \(3^{n+2}\).

Выносим его за скобки:

\(3^{2n+2} + 3^{n+2} = 3^{n+2}(3^{n} + 1).\)

7) Рассмотрим выражение \(49^{n+2} — 7^{n+3}\).

Представим \(49\) как степень числа \(7\): \(49 = 7^{2}\).

\((7^{2})^{n+2} — 7^{n+3} = 7^{2n+4} — 7^{n+3}.\)

Общий множитель — \(7^{n+3}\).

Выносим его за скобки:

\(7^{2n+4} — 7^{n+3} = 7^{n+3}(7^{n+1} — 1).\)

8) Рассмотрим выражение \(64^{n+2} — 32^{n+2} + 16^{n+2}\).

Представим все основания в виде степеней числа \(2\):

\(64 = 2^{6}, \; 32 = 2^{5}, \; 16 = 2^{4}.\)

Подставляем:

\((2^{6})^{n+2} — (2^{5})^{n+2} + (2^{4})^{n+2} = 2^{6n+12} — 2^{5n+10} + 2^{4n+8}.\)

Общий множитель — \(2^{4n+8}\).

Выносим его за скобки:

\(2^{6n+12} — 2^{5n+10} + 2^{4n+8} = 2^{4n+8}(2^{2n+4} — 2^{n+2} + 1).\)