ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разложите на множители (n — натуральное число):

1) \(a^{n+2} — a^{n} \)

2) \(3b^{n+2} — 2b^{n+1} + b^{n} \)

3) \(32^{n} + 16^{2n+1} \)

4) \(27^{n+1} + 9^{n+1} — 3^{n+1}  \)

1) \(a^{n+2} — a^{n} = a^{n}(a^{2} — 1);\)

2) \(3b^{n+2} — 2b^{n+1} + b^{n} = b^{n}(3b^{2} — 2b + 1);\)

3) \(32^{n} + 16^{2n+1} = (2^{5})^{n} + (2^{4})^{2n+1} = 2^{5n} + 2^{8n+4} = 2^{5n}(1 + 2^{3n+4});\)

4) \(27^{n+1} + 9^{n+1} — 3^{n+1} = (3^{3})^{n+1} + (3^{2})^{n+1} — 3^{n+1} = \)

\(= 3^{3n+3} + 3^{2n+2} — 3^{n+1} = 3^{n+1}(3^{2n+2} + 3^{n+1} — 1).\)

1) Рассмотрим выражение \(a^{n+2} — a^{n}\).

В обоих слагаемых присутствует общий множитель \(a^{n}\).

Покажем это явно: \(a^{n+2} = a^{n} \cdot a^{2}\), а второе слагаемое уже равно \(a^{n}\).

Выносим \(a^{n}\) за скобки:

\(a^{n+2} — a^{n} = a^{n}(a^{2} — 1).\)

При желании можно заметить, что \(a^{2} — 1\) — разность квадратов: \(a^{2} — 1 = (a — 1)(a + 1)\).

Тогда разложение можно записать ещё подробнее:

\(a^{n+2} — a^{n} = a^{n}(a — 1)(a + 1).\)

2) Рассмотрим выражение \(3b^{n+2} — 2b^{n+1} + b^{n}\).

Во всех трёх слагаемых есть общий множитель \(b^{n}\), так как:

\(3b^{n+2} = 3b^{n} \cdot b^{2}\),

\(-2b^{n+1} = -2b^{n} \cdot b\),

\(+b^{n} = b^{n} \cdot 1.\)

Выносим \(b^{n}\) за скобки:

\(3b^{n+2} — 2b^{n+1} + b^{n} = b^{n}(3b^{2} — 2b + 1).\)

Проверка раскрытием скобок:

\(b^{n}(3b^{2} — 2b + 1) = 3b^{n}b^{2} — 2b^{n}b + b^{n} = 3b^{n+2} — 2b^{n+1} + b^{n}.\)

3) Рассмотрим выражение \(32^{n} + 16^{2n+1}\).

Чтобы увидеть общий множитель, представим числа \(32\) и \(16\) как степени двойки:

\(32 = 2^{5}\), \(16 = 2^{4}\).

Тогда:

\(32^{n} + 16^{2n+1} = (2^{5})^{n} + (2^{4})^{2n+1}.\)

Используем правило \((x^{k})^{m} = x^{km}\):

\((2^{5})^{n} = 2^{5n},\)

\((2^{4})^{2n+1} = 2^{4(2n+1)} = 2^{8n+4}.\)

Получаем:

\(2^{5n} + 2^{8n+4}.\)

Теперь выделим общий множитель. Наименьшая степень двойки здесь \(2^{5n}\), потому что:

\(2^{8n+4} = 2^{5n} \cdot 2^{(8n+4) — 5n} = 2^{5n} \cdot 2^{3n+4}.\)

Выносим \(2^{5n}\) за скобки:

\(2^{5n} + 2^{8n+4} = 2^{5n}(1 + 2^{3n+4}).\)

Возвращаясь к исходной записи, окончательно:

\(32^{n} + 16^{2n+1} = 2^{5n}(1 + 2^{3n+4}).\)

4) Рассмотрим выражение \(27^{n+1} + 9^{n+1} — 3^{n+1}\).

Представим \(27\) и \(9\) как степени числа \(3\):

\(27 = 3^{3}\), \(9 = 3^{2}\).

Тогда:

\(27^{n+1} + 9^{n+1} — 3^{n+1} = (3^{3})^{n+1} + (3^{2})^{n+1} — 3^{n+1}.\)

Применяем правило \((x^{k})^{m} = x^{km}\):

\((3^{3})^{n+1} = 3^{3(n+1)} = 3^{3n+3},\)

\((3^{2})^{n+1} = 3^{2(n+1)} = 3^{2n+2}.\)

Получаем выражение:

\(3^{3n+3} + 3^{2n+2} — 3^{n+1}.\)

Во всех трёх слагаемых общий множитель \(3^{n+1}\), потому что:

\(3^{3n+3} = 3^{n+1} \cdot 3^{(3n+3) — (n+1)} = 3^{n+1} \cdot 3^{2n+2},\)

\(3^{2n+2} = 3^{n+1} \cdot 3^{(2n+2) — (n+1)} = 3^{n+1} \cdot 3^{n+1},\)

\(-3^{n+1} = 3^{n+1} \cdot (-1).\)

Выносим \(3^{n+1}\) за скобки:

\(3^{3n+3} + 3^{2n+2} — 3^{n+1} = 3^{n+1}(3^{2n+2} + 3^{n+1} — 1).\)

Проверка раскрытием скобок:

\(3^{n+1}(3^{2n+2} + 3^{n+1} — 1) = 3^{n+1} \cdot 3^{2n+2} + 3^{n+1} \cdot 3^{n+1} — 3^{n+1}\)

\(= 3^{3n+3} + 3^{2n+2} — 3^{n+1}.\)