ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении a имеет бесконечно много корней уравнение:

1) \((x — 4)(x + a) — (x + 2)(x — a) = -6\)

2) \(x(3x — 2) — (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6\)

1) \((x — 4)(x + a) — (x + 2)(x — a) = -6\)

\(x^{2} + ax — 4x — 4a — (x^{2} — ax + 2x — 2a) + 6 = 0\)

\(x^{2} + ax — 4x — 4a — x^{2} + ax — 2x + 2a + 6 = 0\)

\(2ax — 6x — 2a + 6 = 0\)

\((2ax — 2a) = 6x — 6\)

\(2a(x — 1) = 6(x — 1).\)

Бесконечно много корней при:

\(2a = 6 ⇒ a = 3.\)

Ответ: при \(a = 3.\)

2) \(x(3x — 2) — (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6\)

\(3x^{2} — 2x — (3x^{2} + 2x + 6ax + 4a) = 5a + 6\)

\(3x^{2} — 2x — 3x^{2} — 2x — 6ax — 4a — 5a — 6 = 0\)

\(-6ax — 4x — 9a — 6 = 0\)

\((-6ax — 9a) = 4x + 6\)

\(-3a(2x + 3) = 2(2x + 3).\)

Бесконечно много корней при:

\(-3a = 2 ⇒ a = -\frac{2}{3}.\)

Ответ: при \(a = -\frac{2}{3}.\)

1) Рассмотрим уравнение \((x — 4)(x + a) — (x + 2)(x — a) = -6\).

Раскроем скобки в каждом произведении.

Сначала \((x — 4)(x + a)\):

\((x — 4)(x + a) = x \cdot x + x \cdot a — 4 \cdot x — 4 \cdot a = x^{2} + ax — 4x — 4a.\)

Теперь \((x + 2)(x — a)\):

\((x + 2)(x — a) = x \cdot x + x \cdot (-a) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-a) = x^{2} — ax + 2x — 2a.\)

Подставим раскрытые скобки обратно в исходное уравнение:

\((x^{2} + ax — 4x — 4a) — (x^{2} — ax + 2x — 2a) = -6.\)

Раскроем минус перед второй скобкой (поменяем знаки у всех её слагаемых):

\(x^{2} + ax — 4x — 4a — x^{2} + ax — 2x + 2a = -6.\)

Сократим \(x^{2} — x^{2} = 0\) и приведём подобные:

Слагаемые с \(ax\): \(ax + ax = 2ax.\)

Слагаемые с \(x\): \(-4x — 2x = -6x.\)

Слагаемые с \(a\): \(-4a + 2a = -2a.\)

Получаем:

\(2ax — 6x — 2a = -6.\)

Перенесём \(-6\) в левую часть (прибавим \(6\) к обеим частям):

\(2ax — 6x — 2a + 6 = 0.\)

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель \((x — 1)\).

Сначала сгруппируем по \(a\) и без \(a\):

\((2ax — 2a) + (-6x + 6) = 0.\)

Вынесем общие множители в каждой группе:

\(2a(x — 1) — 6(x — 1) = 0.\)

Теперь общий множитель \((x — 1)\) можно вынести за скобки:

\((x — 1)(2a — 6) = 0.\)

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно быть тождеством, то есть равенством \(0 = 0\) при любом \(x\).

Это возможно, если коэффициент при \((x — 1)\) равен нулю, тогда всё выражение станет нулём при любом \(x\):

\(2a — 6 = 0.\)

Решим:

\(2a = 6\)

\(a = 3.\)

Итак, уравнение \((x — 4)(x + a) — (x + 2)(x — a) = -6\) имеет бесконечно много корней при \(a = 3\).

2) Рассмотрим уравнение \(x(3x — 2) — (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6\).

Раскроем скобки в левой части.

Сначала \(x(3x — 2)\):

\(x(3x — 2) = 3x^{2} — 2x.\)

Теперь \((x + 2a)(3x + 2)\):

\((x + 2a)(3x + 2) = x \cdot 3x + x \cdot 2 + 2a \cdot 3x + 2a \cdot 2\)

\(= 3x^{2} + 2x + 6ax + 4a.\)

Подставим это в уравнение:

\(3x^{2} — 2x — (3x^{2} + 2x + 6ax + 4a) = 5a + 6.\)

Раскроем минус перед скобкой:

\(3x^{2} — 2x — 3x^{2} — 2x — 6ax — 4a = 5a + 6.\)

Сократим \(3x^{2} — 3x^{2} = 0\) и приведём подобные по \(x\):

\(-2x — 2x = -4x.\)

Получаем:

\(-6ax — 4x — 4a = 5a + 6.\)

Перенесём всё в левую часть (вычтем \(5a + 6\) из обеих частей):

\(-6ax — 4x — 4a — 5a — 6 = 0.\)

Приведём подобные по \(a\): \(-4a — 5a = -9a\).

\(-6ax — 4x — 9a — 6 = 0.\)

Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель \((2x + 3)\).

Для этого перепишем первые два слагаемых, вынеся \(-2\):

\(-6ax — 4x = -2x(3a + 2).\)

А оставшиеся два слагаемых:

\(-9a — 6 = -3(3a + 2).\)

Теперь можно вынести общий множитель \((3a + 2)\):

\(-2x(3a + 2) — 3(3a + 2) = 0.\)

Вынесем \((3a + 2)\) за скобки:

\((3a + 2)(-2x — 3) = 0.\)

Заметим, что \(-2x — 3 = -(2x + 3)\), поэтому можно записать и так:

\(-(3a + 2)(2x + 3) = 0.\)

Знак минус на количество решений не влияет, поэтому условие тождества то же самое: коэффициент должен быть нулём.

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно превращаться в равенство \(0 = 0\) при любом \(x\).

Это возможно, если:

\(3a + 2 = 0.\)

Решим:

\(3a = -2\)

\(a = -\frac{2}{3}.\)

Итак, уравнение \(x(3x — 2) — (x + 2a)(3x + 2) = 5a + 6\) имеет бесконечно много корней при \(a = -\frac{2}{3}\).