ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b и c таковы, что (a + b)(a + b + c) = 5, (b + c)(a + b + c) = 6, (a + c)(a + b + c) = 7. Найдите (a + b + c)².

\((a + b)(a + b + c) = 5,\) \((b + c)(a + b + c) = 6,\)

\((a + c)(a + b + c) = 7.\)

Сложим данные равенства:

\((a + b)(a + b + c) + (b + c)(a + b + c) + (a + c)(a + b + c) = 5 + 6 + 7\)

\((a + b + c)(a + b + (b + c) + (a + c)) = 18\)

\((a + b + c)(a + b + b + c + a + c) = 18\)

\((a + b + c)(2a + 2b + 2c) = 18\)

\(2(a + b + c)(a + b + c) = 18 \quad | : 2\)

\((a + b + c)(a + b + c) = 9\)

\((a + b + c)^{2} = 9.\)

Ответ: \((a + b + c)^{2} = 9.\)

Дано, что:

\((a + b)(a + b + c) = 5,\)

\((b + c)(a + b + c) = 6,\)

\((a + c)(a + b + c) = 7.\)

Требуется найти: \((a + b + c)^{2}\).

Обозначим сумму \(a + b + c\) одной буквой, чтобы все записи стали короче:

\(S = a + b + c.\)

Тогда данные равенства перепишутся так:

\((a + b)S = 5,\)

\((b + c)S = 6,\)

\((a + c)S = 7.\)

Сложим все три равенства по членам (левые части складываем с левыми, правые — с правыми):

\((a + b)S + (b + c)S + (a + c)S = 5 + 6 + 7.\)

В левой части можно вынести общий множитель \(S\), так как он одинаковый в каждом слагаемом:

\(S\bigl((a + b) + (b + c) + (a + c)\bigr) = 18.\)

Теперь упростим выражение в скобках:

\((a + b) + (b + c) + (a + c) = a + b + b + c + a + c.\)

Сгруппируем одинаковые буквы:

\(a + a + b + b + c + c = 2a + 2b + 2c.\)

Вынесем \(2\) за скобки:

\(2a + 2b + 2c = 2(a + b + c).\)

Но \(a + b + c = S\), значит:

\(2(a + b + c) = 2S.\)

Подставим это в полученное ранее равенство:

\(S \cdot 2S = 18.\)

Перемножим:

\(2S^{2} = 18.\)

Разделим обе части на \(2\):

\(S^{2} = \frac{18}{2}.\)

Вычислим дробь:

\(S^{2} = 9.\)

Так как \(S = a + b + c\), получаем:

\((a + b + c)^{2} = 9.\)