ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения 1 111 111 111 — 22 222 является квадратом натурального числа.

\(1\,111\,111\,111 — 22\,222 = 11\,111 \cdot (100\,001 — 2) = 11\,111 \cdot 99\,999 = \)

\(= 11\,111 \cdot 11\,111 \cdot 9 = 9 \cdot (11\,111)^{2} = 3^{2} \cdot (11\,111)^{2} = \)

\(= (3 \cdot 11\,111)^{2} = (33\,333)^{2}\) → что и требовалось доказать.

Докажем, что значение выражения \(1\,111\,111\,111 — 22\,222\) является квадратом натурального числа.

Рассмотрим выражение:

\(1\,111\,111\,111 — 22\,222.\)

Заметим, что число \(1\,111\,111\,111\) можно представить как произведение \(11\,111\) и \(100\,001\), потому что при умножении \(11\,111 \cdot 100\,001\) получаются две группы одинаковых цифр \(11\,111\), разделённые нулями:

\(11\,111 \cdot 100\,001 = 1\,111\,111\,111.\)

Также заметим, что \(22\,222 = 11\,111 \cdot 2\), так как:

\(11\,111 \cdot 2 = 22\,222.\)

Тогда исходную разность можно переписать, вынеся общий множитель \(11\,111\):

\(1\,111\,111\,111 — 22\,222 = 11\,111 \cdot 100\,001 — 11\,111 \cdot 2.\)

Вынесем \(11\,111\) за скобки:

\(11\,111 \cdot 100\,001 — 11\,111 \cdot 2 = 11\,111(100\,001 — 2).\)

Вычислим выражение в скобках:

\(100\,001 — 2 = 99\,999.\)

Получаем:

\(1\,111\,111\,111 — 22\,222 = 11\,111 \cdot 99\,999.\)

Теперь разложим \(99\,999\) на множители. Заметим, что:

\(99\,999 = 9 \cdot 11\,111,\)

поскольку \(11\,111 \cdot 9 = 99\,999.\)

Подставим это в выражение:

\(11\,111 \cdot 99\,999 = 11\,111 \cdot (9 \cdot 11\,111).\)

Переставим множители и сгруппируем одинаковые:

\(11\,111 \cdot (9 \cdot 11\,111) = 9 \cdot 11\,111 \cdot 11\,111.\)

Запишем произведение одинаковых множителей как квадрат:

\(11\,111 \cdot 11\,111 = (11\,111)^{2}.\)

Тогда:

\(9 \cdot 11\,111 \cdot 11\,111 = 9 \cdot (11\,111)^{2}.\)

Теперь заметим, что \(9\) тоже является квадратом натурального числа:

\(9 = 3^{2}.\)

Заменим \(9\) на \(3^{2}\):

\(9 \cdot (11\,111)^{2} = 3^{2} \cdot (11\,111)^{2}.\)

Используем свойство: \(p^{2} \cdot q^{2} = (pq)^{2}\).

Тогда:

\(3^{2} \cdot (11\,111)^{2} = (3 \cdot 11\,111)^{2}.\)

Вычислим произведение внутри скобок:

\(3 \cdot 11\,111 = 33\,333.\)

Получаем:

\((3 \cdot 11\,111)^{2} = (33\,333)^{2}.\)

Следовательно:

\(1\,111\,111\,111 — 22\,222 = (33\,333)^{2}.\)

Так как \(33\,333\) — натуральное число, то выражение \(1\,111\,111\,111 — 22\,222\) действительно является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.