Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите такие натуральные числа m и n, что \(2^{m} — 2^{n} = 240.\).
\(2^{m} — 2^{n} = 240.\)
Разложим на множители:
\(2^{n}(2^{m-n} — 1) = 16 \cdot 15.\)
Тогда:
\(2^{n} = 16,\)
\(2^{n} = 2^{4},\)
\(n = 4,\)
\(2^{m-n} — 1 = 15\)
\(2^{m-n} = 16\)
\(2^{m-4} = 2^{4}\)
\(m — 4 = 4\)
\(m = 8.\)
Ответ: \(m = 8\) и \(n = 4.\)
Найти натуральные числа \(m\) и \(n\), такие что \(2^{m} — 2^{n} = 240\).
Дано уравнение:
\(2^{m} — 2^{n} = 240.\)
Так как \(m\) и \(n\) — натуральные числа, степени двойки \(2^{m}\) и \(2^{n}\) — целые положительные числа.
Кроме того, \(2^{m} — 2^{n} > 0\), значит \(2^{m} > 2^{n}\), следовательно:
\(m > n.\)
Вынесем меньшую степень двойки \(2^{n}\) за скобки:
\(2^{m} — 2^{n} = 2^{n}(2^{m-n} — 1).\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2^{n}(2^{m-n} — 1) = 240.\)
Разложим \(240\) на множители, выделяя степень двойки, потому что \(2^{n}\) — это степень двойки.
Разложим \(240\):
\(240 = 24 \cdot 10 = (8 \cdot 3)\cdot (2 \cdot 5) = 16 \cdot 15.\)
То есть:
\(240 = 2^{4} \cdot 15.\)
Получаем уравнение:
\(2^{n}(2^{m-n} — 1) = 16 \cdot 15.\)
Заметим важное свойство:
\(2^{m-n}\) — степень двойки, значит \(2^{m-n}\) — чётное число (так как \(m-n \ge 1\)).
Тогда \(2^{m-n} — 1\) — нечётное число (чётное минус \(1\) даёт нечётное).
В произведении \(2^{n}(2^{m-n} — 1)\) первый множитель \(2^{n}\) — чистая степень двойки (содержит только простые множители \(2\)),
а второй множитель \(2^{m-n} — 1\) — нечётное число (не делится на \(2\)).
Разложение числа \(240\) на \(16 \cdot 15\) как раз имеет такой вид:
\(16\) — степень двойки,
\(15\) — нечётное число.
Значит, чтобы равенство выполнялось, должно быть:
\(2^{n} = 16\)
и
\(2^{m-n} — 1 = 15.\)
Найдём \(n\):
\(2^{n} = 16 = 2^{4}.\)
Следовательно:
\(n = 4.\)
Теперь найдём \(m\) из второго равенства:
\(2^{m-n} — 1 = 15.\)
Прибавим \(1\) к обеим частям:
\(2^{m-n} = 16.\)
Но \(16 = 2^{4}\), значит:
\(2^{m-n} = 2^{4}.\)
Следовательно, показатели равны:
\(m — n = 4.\)
Так как \(n = 4\), то:
\(m — 4 = 4,\)
\(m = 8.\)
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
\(2^{8} — 2^{4} = 256 — 16 = 240.\)
Равенство выполняется.
Ответ: \(m = 8\), \(n = 4.\)
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!