ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 13.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Существует ли двузначное число, в котором цифра десятков на 4 больше цифры единиц, а разность между данным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?

Пусть такое число существует, тогда оно содержит \(x\) единиц и \((x + 4)\) десятков. Число имеет вид \(\overline{(x+4)x} = 10(x + 4) + x = 10x + 40 + x = 11x + 40.\)

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, имеет вид, \(\overline{x(x+4)} = 10x + (x + 4) = 10x + x + 4 = 11x + 4.\)

Известно, что разница между данным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27.

Составим уравнение:

\(11x + 40 — (11x + 4) = 27\)

\(11x + 40 — 11x — 4 = 27\)

\(0x = 27 — 40 + 4\)

\(0x = -9\) → решений нет.

Следовательно, такого двузначного числа не существует.

Ответ: не существует.

Нужно выяснить, существует ли двузначное число, у которого цифра десятков на \(4\) больше цифры единиц, и при этом разность между данным числом и числом, составленным из тех же цифр в обратном порядке, равна \(27\).

1) Обозначим цифры числа.

Пусть цифра единиц равна \(x\).

Тогда по условию цифра десятков на \(4\) больше, значит цифра десятков равна \(x + 4\).

Так как речь о цифрах, то \(x\) — целое число от \(0\) до \(9\), а \(x + 4\) тоже должна быть цифрой, то есть \(x + 4 \le 9\), значит \(x \le 5\).

Также число двузначное, поэтому цифра десятков не равна нулю, а здесь она \(x + 4\), и при \(x \ge 0\) это условие выполняется.

2) Запишем само двузначное число через \(x\).

Если десятки равны \(x + 4\), а единицы равны \(x\), то число имеет вид \(\overline{(x+4)x}\).

По правилу записи двузначного числа:

\(\overline{(x+4)x} = 10(x + 4) + x.\)

Раскроем скобки и приведём подобные:

\(10(x + 4) + x = 10x + 40 + x = 11x + 40.\)

Значит данное число равно \(11x + 40\).

3) Запишем число с теми же цифрами в обратном порядке.

Если поменять цифры местами, десятки будут \(x\), а единицы будут \(x + 4\).

Это число имеет вид \(\overline{x(x+4)}\) и равно:

\(\overline{x(x+4)} = 10x + (x + 4).\)

Приведём подобные:

\(10x + (x + 4) = 10x + x + 4 = 11x + 4.\)

4) Составим уравнение по условию о разности.

Сказано, что разность между данным числом и числом в обратном порядке равна \(27\).

То есть:

\((11x + 40) — (11x + 4) = 27.\)

Раскроем скобки и приведём подобные:

\(11x + 40 — 11x — 4 = 27.\)

Слагаемые \(11x\) и \(-11x\) сокращаются:

\(0x + 36 = 27.\)

То есть получается равенство:

\(36 = 27.\)

Это неверно, значит исходное уравнение не имеет решений ни при каком \(x\).

Можно записать это так же, перенося числа в одну сторону:

\(36 — 27 = 0\)

\(9 = 0,\)

что тоже невозможно.

5) Вывод.

Так как не существует значения \(x\), при котором выполняется условие разности, то не существует и двузначного числа, удовлетворяющего всем условиям задачи.

Ответ: не существует.